[論文レビュー] Foncteurs de Mackey à réciprocité

Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数的幾何におけるコホロジー的、加法的、位相的不変性の性質に注目し、再帰的性質を有するMackey函手を導入してその性質を研究する。このような函手が強い再帰的法則を満たすことを示し、特に可換代数的群や半アーベル多様体に付随するコホロジー的Mackey函手が強い再帰的性質を満たすことを証明する。主たる貢献は、Mackey函手とその専用写像を用いた代数的幾何における再帰的性質の一般枠組みの構築である。

ABSTRACT

This text was written 20 years ago, inspired by M. Somekawa's paper on K-groups attached to semi-abelian varieties (K-Theory 4 (1990), 105--119) and before Voevodsky's theory of presheaves with transfers. The reason why it only had a limited circulation will be obvious towards the end. In view of recent developments, I thought it could be useful to make it generally available.

研究の動機と目的

• 代数的幾何における再帰的性質を有するMackey函手を定義し、その分析を行う。
• このような函手が強い再帰的性質を満たす条件を確立する。特に代数的群およびコホロジー的函手に対して。
• Galois降下を用いて、代数閉体の場合の再帰的法則を任意の基底体へ一般化する。
• 局所記号を備えたMackey函手のテンソル積のための枠組みを構築し、専用写像における整合性の問題を解決する。

提案手法

• 有限平坦準同型とフィルター付き帰納極限における連続性を要件とする、アフィン$k$-スキーム上のMackey函手を定義する。
• 主要な性質を導入する：コホロジー的（移行合成が次数乗法に等しい）、加法的（直和に沿って整合性を持つ）、位相的不変性（radicialな準同型で同型を与える）。
• Henselの補題と分離閉包上の基底変換を用いて、コホロジー的函手に対して弱い位相的不変性を確立する。
• 有効な除数$D$に対して、$a(D) = \operatorname{Cor}_{D/k} \iota_D^*(a)$という除数評価写像を用い、$A(U)$の要素と$A(k)$の値との関係を関係づける。
• ホモトピー不変性とGalois降下を用いて、代数的閉体から一般の基底体への結果の拡張を実行する。
• スペクトル系列とハイパコホモロジーを用いて、捩れたコホモロジーを有するエタール層の複体に対しても再帰的性質を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mackey函手が強い再帰的性質を満たす条件は何か？
• RQ2 コホロジー的および位相的不変性の性質が、弱い位相的不変性をどのように導くか？
• RQ3 代数的群に対する再帰的法則を代数的閉体から任意の基底体へ拡張できるか？
• RQ4 2つの局所記号を備えたMackey函手のテンソル積が、整合的な局所記号を備えるための条件は何か？
• RQ5 エタールサイト上のハイパコホモロジー函手は、どの程度強い再帰的性質を満たすか？

主な発見

• コホロジー的かつ位相的に不変なMackey函手は、Henselの補題と分離閉包上の基底変換を用いて、弱い位相的不変性を満たすことが示された。
• 任意の有限平坦準同型$f: V \to U$（次数$n$）に対して、評価は$(f^*a)(f^*D) = n a(D)$および$A$がコホロジー的であるとき$a(f_*D) = (f^*a)(D)$を満たす。
• $A$が$k$上の中間代数的群または半アーベル多様体であるとき、それに付随するMackey函手は強い再帰的性質を満たす。
• 有界上方の複体$C^\cdot$で、$\operatorname{char}(k)$と互いに素な捩れたコホモロジーを有する場合、ハイパコホモロジー函手$Y \mapsto \mathbb{H}^i(Y_{\text{ét}}, C^\cdot)$は強い再帰的性質を満たす。
• チャウ群函手$Y \mapsto CH^i(X \times_k Y)$は、ハイパコホモロジー結果の特別な場合として強い再帰的性質を満たす。
• 函手$Y \mapsto \Omega^i_{X/\mathbb{Z}}$は再帰的性質を満たすが、強いバージョンではないため、弱い再帰的性質と強い再帰的性質の違いを示している。