[論文レビュー] For a few elements more: A survey of finite Rees index

Alan J. Cain, Victor Maltcev|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

semigroups and automata theory参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、半群理論における有限リース指数拡張および部分半群における有限性および幾何的性質の継承を調査する。語の双曲性は有限リース指数部分半群によって継承され、有限幾何的型のモノイド内では幾何的双曲性が有限リース指数拡張および部分半群によって保存されることを確立している。また、改善された反例と既知の結果の包括的な要約表も提供している。

ABSTRACT

This paper makes a comprehensive survey of results relating to finite Rees index for semigroups. In particular, we survey of the state of knowledge on whether various finiteness properties (such as finite generation, finite presentability, automaticity, and hopficity) are inherited by finite Rees index subsemigroups and extensions. We survey other properties that are invariant under passing to finite Rees index subsemigroups and extensions, such as the cofinality and number of ends. We prove some new results: inheritance of word-hyperbolicity by finite Rees index subsemigroups, and inheritance of (geometric) hyperbolicity by finite Rees index extensions and subsemigroups within the class of monoids of finite geometric type. We also give some improved counterexamples. All the results are summarized in a table.

研究の動機と目的

• 有限リース指数拡張および部分半群における有限性および構造的性質の継承に関する既知の結果を包括的にサーベイすること。
• 有限生成性、有限提示可能性、自動性、ホフビュル性といった主要な性質が、有限リース指数部分半群および拡張において保存されるかどうかを調査すること。
• 語の双曲性が有限リース指数部分半群によって継承され、有限幾何的型のモノイド内での有限リース指数拡張によって幾何的双曲性が保存されることを含む、新たな理論的結果を確立すること。
• 特にグローバル torsion 性および co-hopficity 性に関する既存の反例を精錬・改善すること。
• すべての既知の継承結果を要約した詳細な表を編集し、今後の研究のための参照資料とする。

提案手法

• 著者たちは、半群理論における30件以上の主要な論文を統合する体系的サーベイ手法を採用し、特にリードマイスター＝シュライエル型の書き換え技法に焦点を当てる。
• リース指数の定義（部分半群 T が S に含まれるときの |S − T| + 1）を分析し、それに基づいて大半群および小拡張を定義する。
• 各性質について、それが小拡張（S が T の小拡張）または部分半群（T が S の大半群）において保存されるかを、既知の定理と論理的推論を用いて検討する。
• 書き換え系と正規形を用いて、語の双曲性および幾何的双曲性について新たな結果を証明し、ab → ea や yab → af などの関係を応用する。
• 正規形と導出経路を分析することで、グローバル torsion 性や co-hopficity 性の非継承を示す、改善された反例を構成する。
• すべての性質について、小拡張または大部分半群によって継承されるかどうかを示す包括的な要約表を編集・検証し、元の証明への参照を付記する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語の双曲性は有限リース指数部分半群においても保存されるか？
• RQ2 有限幾何的型のモノイド内では、幾何的双曲性が有限リース指数拡張および部分半群によって保存されるか？
• RQ3 ホフビュル性、co-hopficity 性、有限 Malcev 提示可能性といった性質は、有限リース指数部分半群または拡張によって継承されるか？
• RQ4 グローバル torsion 性や有限完全書き換え系の非継承に関する既存の反例を、改善または鋭くすることは可能か？
• RQ5 理想の数やグリーンの関係といった構造的性質は、有限リース指数拡張または部分半群においても不変のままであるか？

主な発見

• 語の双曲性は、定理 10.1 で示されるように、有限リース指数部分半群によって継承される。
• 幾何的双曲性は、有限幾何的型のクラスに属するモノイド内では、有限リース指数拡張および部分半群によって保存され、定理 11.6 で確立されている。
• 部分半群が有限個であるという性質は、小拡張および大部分半群の両方において継承され、ルシュクの結果で示されている。
• すべての左イデアルが大半群であるという性質は、小拡張によって継承されない。ルシュクの研究における反例で示されている。
• グローバル torsion 性は、大部分半群によって継承されない。グーバ、マルツェフ、マイアシュニコフ、ルシュクの研究における反例で示されている。
• 自動性および非同期自動性の継承は、それぞれ小拡張および大部分半群において確認されており、既存の定理への参照がある。