[論文レビュー] For differential equations with r parameters, 2r+1 experiments are enough for identification

Eduardo D. Sontag|ArXiv.org|Nov 12, 2001

Fault Detection and Control Systems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、r 個の未知パラメータを含む微分方程式系において、正確な測定のもとで、2r + 1 個の適切に選ばれた実験で、すべてのパラメータを一意に同定できることを確立している。この手法は、解がパラメータに対して解析的依存することに依存し、横断的（transversality）な議論を用いて、一般の実験がパラメータベクトルを分離できることを示している。この上限は最悪ケースにおいてタイトである。

ABSTRACT

Given a set of differential equations whose description involves unknown parameters, such as reaction constants in chemical kinetics, and supposing that one may at any time measure the values of some of the variables and possibly apply external inputs to help excite the system, how many experiments are sufficient in order to obtain all the information that is potentially available about the parameters? This paper shows that the best possible answer (assuming exact measurements) is 2r+1 experiments, where r is the number of parameters.

研究の動機と目的

• 微分方程式系におけるr 個の未知パラメータを完全に同定するために必要な最小の実験数を特定すること。
• 外部入力が制限された系、例えば生物学的シグナル伝達経路におけるパラメータ同定を扱うこと。
• 正確な測定条件下で、必要な実験数の鋭い理論的上限を提供すること。
• 一般系において、2r+1 個の実験が最悪ケースで十分かつ必要であることを確立すること。

提案手法

• システムを時間不変パラメータ、測定可能な出力、許容される入力のクラスを有するODEとしてモデル化する。
• 解がパラメータに対して解析的依存することを用いて、パラメータの違いが出力軌道に保たれることを保証する。
• 横断的およびSard型の議論を適用し、実験時間（または入力）の一般な選択が、区別可能な出力関数をもたらすことを示す。
• 同一の出力を生成するパラメータペアの多様体を構成し、そのコ・次元が少なくとも2r+1であることを示し、2r+1 個の実験でそれらのペアをすべて分離できることを示す。
• 同様の出力軌道を生成するパラメータペアの集合が、次元の低い真部分多様体であるという事実に依存しているため、一般の実験はそれを避ける。
• 解析的仮定のもとで成立し、滑らか（smooth）な場合には成立しないことから、解析的依存性の重要性が浮き彫りになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な測定のもとで、微分方程式系に含まれるr 個の未知パラメータを一意に同定するために必要な最小の実験数は何か？
• RQ2 2r+1 の上限は実際の状況でも達成可能であり、ある系ではタイトであるか？
• RQ3 ステップ入力などの制限的または構造的入力が存在する場合、同定に必要な実験数にどのように影響するか？
• RQ4 ベクトル値出力や複数同時測定を含む系に、この結果を拡張可能か？
• RQ5 例えばc = 0 とc ≠ 0 の有無のテストのみを目的とする場合、実験数を減らすことは可能か？

主な発見

• 任意のrパラメータを含む微分方程式系において、正確な測定のもとで、2r+1 個の実験で、すべてのパラメータを一意に同定可能である。
• 2r+1 の上限はタイトである：2r+1 個未満の実験では、すべてのパラメータベクトルを区別できない系が存在する。
• この結果は、解がパラメータに対して解析的依存することに依存しており、滑らか（smooth）な場合には成立しないことから、解析的依存性の必要性が示されている。
• 一般の実験時間または入力の選択に対して、異なるパラメータの出力関数が異なることを保証する。
• ベクトル値出力であっても、追加の独立性条件が課されない限り、必要な実験数は2r+1 のまま維持される。
• 仮説検定（例：c = 0 とc ≠ 0 の区別）の場合は、r+1 個の実験で十分であり、パラメータの区別は全推定よりも容易であることが示された。