[論文レビュー] For Distinguishing Conjugate Hidden Subgroups, the Pretty Good Measurement is as Good as it Gets

Cristopher Moore, Alexander Russell|ArXiv.org|Jan 31, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、群 G とその非正規部分群 H がゲルファンド対をなす場合、一重レジスタの場合に、隠れた部分群が H の共役の上に一様に分布しているとき、ピッテリーグッド測定（PGM）が最適であることを証明している。さらに、G と H がゲルファンド対をなすとき、任意の数のレジスタにおいても PGM が最適であることを示しており、既存の対称群やアフィン群に関する結果を一般化し、表現論とプランシュレ測度を用いて成功確率のタイトな上限を導出している。

ABSTRACT

Recently Bacon, Childs and van Dam showed that the ``pretty good measurement'' (PGM) is optimal for the Hidden Subgroup Problem on the dihedral group D_n in the case where the hidden subgroup is chosen uniformly from the n involutions. We show that, for any group and any subgroup H, the PGM is the optimal one-register experiment in the case where the hidden subgroup is a uniformly random conjugate of H. We go on to show that when H forms a Gel'fand pair with its parent group, the PGM is the optimal measurement for any number of registers. In both cases we bound the probability that the optimal measurement succeeds. This generalizes the case of the dihedral group, and includes a number of other examples of interest.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムにおける共役隠れ部分群を区別するためのピッテリーグッド測定（PGM）の最適性を特定すること。
• 対称群に関する先行結果を、G と H がゲルファンド対をなす任意の群および部分群に一般化すること。
• 一重レジスタおよび複数レジスタの両設定において、PGM の成功確率のタイトな上界を導出すること。
• 共役部分群の上に一様な事前分布が与えられた場合に、表現論的ツールを用いて PGM が最適な測定戦略であることを確立すること。

提案手法

• 非正規部分群 H の一様にランダムな共役を特定する問題として、隠れた共役問題を定義する。
• PGM の構成：E_i = p_i M^{-1/2} ρ_i M^{-1/2}（ここで M = ∑ p_i ρ_i）を用い、コセット状態上の測定演算子を定義する。
• シュールの補題と表現論を用いて、密度行列 ρ_g を G の既約表現に分解する。
• 演算子代数とトレース不等式を用いて、一重レジスタの場合に PGM が最適性条件 (1.4)–(1.6) を満たすことを証明する。
• ゲルファンド対の場合、プランシュレ測度と表現構造を分析することで、複数レジスタにおいても PGM が最適であることを示す。
• プランシュレ分布と H の正規化部分群 C(H) の大きさを用いて、成功確率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一重レジスタの場合に、共役隠れ部分群を区別するためのピッテリーグッド測定（PGM）は最適か？
• RQ2 PGM が複数レジスタにおいて最適となる群・部分群の条件は何か？
• RQ3 PGM の成功確率を表現論の観点からタイトに評価できるか？
• RQ4 対称群における PGM の最適性は、他の非アーベル群へも拡張可能か？
• RQ5 ゲルファンド対の構造は、隠れた共役部分群問題における PGM の最適性とどのように関係するか？

主な発見

• 隠れた部分群が H の共役の上に一様に分布している一重レジスタの隠れた共役問題において、ピッテリーグッド測定（PGM）は最適である。
• 任意の群 G と部分群 H に対して、一重レジスタ設定で一様事前分布のもとで、PGM は最高の成功確率を達成する。
• G と H がゲルファンド対をなすとき、PGM は任意の数のレジスタにおいて最適であり、バコン、チルドズ、ヴァン・ダムによる対称群に関する結果を一般化する。
• PGM の成功確率は、|H|^k / |C(H)| に、π^σ_g が非ゼロとなる表現におけるプランシュレ測度の k 乗を乗じたもので上から抑えられる。
• 不等式 P_success ≤ |H|^k / |C(H)| × Planch(S_H)^k はタイトであり、対称群やアフィン群の既知の結果を回復する。
• この結果は、アフィン群 A_p、ヘイゼンベルク群の部分群、およびハイパーオクテイドラルまたは放物型部分群をもつ対称群など、いくつかの重要な例に適用可能である。