[論文レビュー] For Fixed Control Parameters the Quantum Approximate Optimization\n Algorithm's Objective Function Value Concentrates for Typical Instances

Fernando G. S. L. Brandão, Michael Broughton+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 61

ひとこと要約

本論文は、固定された QAOA 深さ p に対して、目的値が分布から抽出された代表的な問題インスタンス上で集中することを示しており、解の全体像が実質的にインスタンスに依存しないことを意味し、インスタンス間でのパラメータ再利用を可能にする。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA, uses a shallow depth\nquantum circuit to produce a parameter dependent state. For a given\ncombinatorial optimization problem instance, the quantum expectation of the\nassociated cost function is the parameter dependent objective function of the\nQAOA. We demonstrate that if the parameters are fixed and the instance comes\nfrom a reasonable distribution then the objective function value is\nconcentrated in the sense that typical instances have (nearly) the same value\nof the objective function. This applies not just for optimal parameters as the\nwhole landscape is instance independent. We can prove this is true for low\ndepth quantum circuits for instances of MaxCut on large 3-regular graphs. Our\nresults generalize beyond this example. We support the arguments with numerical\nexamples that show remarkable concentration. For higher depth circuits the\nnumerics also show concentration and we argue for this using the Law of Large\nNumbers. We also observe by simulation that if we find parameters which result\nin good performance at say 10 bits these same parameters result in good\nperformance at say 24 bits. These findings suggest ways to run the QAOA that\nreduce or eliminate the use of the outer loop optimization and may allow us to\nfind good solutions with fewer calls to the quantum computer.\n

研究の動機と目的

• ランダムな問題インスタンスに対する QAOA の性能研究を動機づける。
• 固定深さで、QAOA の目的値が典型的なインスタンス全体で集中することを示す。
• 実用的な問題クラスに対して、目的の景観がインスタンスに依存しないことを示す。

提案手法

• QAOA 状態を、U(B, beta) と U(C, gamma) を交互に適用し、均一状態 |s> に対して表現する。
• コスト期待値 F_p(gamma, beta) を MaxCut の局所エッジ寄与の和として分解する。
• p=1、3-正則 MaxCut の場合を分析し、large n での集中を証明する。
• 大数の法則と数値的証拠を用いて、より深い深さの回路にも議論を拡張する。
• 集中とサイズ間のパラメータ転送を示す数値シミュレーションを提供する。
• 外部ループ最適化の削減とパラメータの再利用に対する影響を論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定 p かつ大きな n に対して、QAOA の目的値は典型的なインスタンスで集中するか？
• RQ2 検討対象の問題クラスで、集中現象はインスタンスに依存しないか？
• RQ3 深さ p は集中性にどのように影響するか、p=1 を超えて数値的に観察できるか？
• RQ4 集中により、異なるインスタンスサイズや分布間でのパラメータ再利用が可能か？
• RQ5 この結果が、近似量子デバイスでの実用的な最適化戦略に与える影響は何か？

主な発見

• 深さ p=1 での 3-正則 MaxCut グラフに対して、n が増加するにつれて QAOA の目的値が集中する。
• 数値的な結果は、より深い深さでも集中が持続することを示しており、著者はこれを大数の法則で説明する。
• 景観は、最適パラメータだけでなく、典型的なインスタンス間でほぼ同一になる。
• シミュレーションは、より小さなビット精度（例：10 ビット）で見つかったパラメータが、より大きなサイズ（例：24 ビット）でもうまく機能することを示唆する。
• この集中は、外部ループの最適化を減らすまたは排除し、より少ない量子計算機呼び出しで良い解を得るための潜在的戦略を示唆する。