[論文レビュー] For the Metatheory of Type Theory, Internal Sconing Is Enough

Rafaël Bocquet, Ambrus Kaposi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Logic, programming, and type systems被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、一般のグリューニングの代わりに、プレシェーフ圏内のグローバルセクションファンクターに沿った内部的スコーニングのみを用いる、型理論のための新規なメタ理論的枠組みを提案する。内部的高階モデルと外部的一階モデルを文脈化およびスコーニングによって統合することで、置換の明示的取り扱いなしに、正規化、帰納的正規性、および構文的パラメトリシティのためのボイラープレートのない帰納法原理が導出される。主要な結果は、表示モデルのスコーネにおける一般化されたセクション構成によって達成される。

ABSTRACT

Metatheorems about type theories are often proven by interpreting the syntax into models constructed using categorical gluing. We propose to use only sconing (gluing along a global section functor) instead of general gluing. The sconing is performed internally to a presheaf category, and we recover the original glued model by externalization. Our method relies on constructions involving two notions of models: first-order models (with explicit contexts) and higher-order models (without explicit contexts). Sconing turns a displayed higher-order model into a displayed first-order model. Using these, we derive specialized induction principles for the syntax of type theory. The input of such an induction principle is a boilerplate-free description of its motives and methods, not mentioning contexts. The output is a section with computation rules specified in the same internal language. We illustrate our framework by proofs of canonicity and normalization for type theory.

研究の動機と目的

• 置換の明示的取り扱いなしに、型理論のメタ的性質をスムーズかつ再利用可能な枠組みで証明するためのフレームワークを構築すること。
• 従来のグリューニングの複雑さを克服し、プレシェーフ圏におけるスコーニングに制限することで実現すること。
• 内部化および文脈化を通じて、一階および高階のモデル表現を統一すること。
• 特定のファンクター（例えば、名前の変更、空の文脈）の下で安定する相対的帰納法原理を、スコーネ構成を用いて可能にすること。

提案手法

• プレシェーフ圏内で内部的スコーニングが行われ、表示された高階モデルが表示された一階モデルに変換される。
• 本手法は二種類のモデル型を用いる：一階モデル（明示的な文脈を伴う）および高階モデル（ユニバースに基づき、文脈を暗黙的に持つ）。
• 主な構成には、内部化、文脈化（Setおよびテレスコピック）、制限、および外部化（標準的なグリューニングモデルへの回復）が含まれる。
• スコーネ・文脈化は標準的なグリューニングを一般化し、外部的には正規化モデルのような複雑な構成に対応する。
• 表示された一階モデルのセクションの圏は、引き戻しを介して定義され、帰納法における初期性の議論を可能にする。
• プレシェーフの内部論理が使用され、置換の安定性が自動的に保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグリューニングを用いずに、内部的スコーニングのみを用いて型理論のメタ的性質を証明することは可能か？
• RQ2 高階モデルと一階モデルを体系的に関連づけ、帰納法原理を導出することは可能か？
• RQ3 名前の変更や空の文脈のような特定の文脈ファンクターの下で有効な相対的帰納法原理を一様に導出することは可能か？
• RQ4 内部的モデル構成を用いて、メタ的証明におけるボイラープレート的な置換の取り扱いを排除することは可能か？
• RQ5 スコーネ構成は、外部的に既知のモデル（正規化や帰納的正規性）を内部的に捉えることができるか？

主な発見

• 本稿では、一般のグリューニングを用いずに、内部的スコーニングのみを用いて型理論の正規化関数を成功裏に導出している。正規化関数は normA(a) ≜ JAKq(JaK) として定義される。
• 正規化の安定性は、中立項と正規形の上での相互帰納法により証明され、任意の正規形 anf に対して、anf = normA(a) が成り立つことが示される。
• 帰納的正規性モデルは、構文上に高階の表示モデルとして回復され、相対的帰納法原理を用いてセクション J−K が構成される。
• 本フレームワークにより、内部論理による置換の尊重を満たす表示モデルを構築することで、構文的パラメトリシティの均一な取り扱いが可能になる。
• スコーネ構成は、外部的に複雑なグリューニングモデル（例えば、先行研究における正規化モデル）を内部的に捉え、プレシェーフモデルの内部スコーネを外部化することで実現する。
• 表示された一階モデルのセクションの圏は引き戻しを介して定義され、初期性に基づく帰納法のための圏論的基盤を提供する。