[論文レビュー] Forbidden subgraphs for constant domination number

Michitaka Furuya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての連結な $χ$-自由グラフにおいて定数の支配数を保証する連結な禁止誘導部分グラフの集合を特徴づけている。その結果、このような集合 $χ$ が (A1) を満たすための必要十分条件は、ある正の整数 $k, \ell, m$ に対して $χ \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ であることである。ここで $K^{*}_k$ と $S^{*}_\ell$ は特定のスターリンクに似たグラフであり、$P_m$ はパスを表す。この結果は、線形同値性を満たす他の支配類似不変量に対しても拡張可能である。

ABSTRACT

In this paper, we characterize the sets $\mathcal{H}$ of connected graphs such that there exists a constant $c=c(\mathcal{H})$ satisfying $γ(G)\leq c$ for every connected $\mathcal{H}$-free graph $G$, where $γ(G)$ is the domination number of $G$.

研究の動機と目的

• すべての $\mathcal{H}$-自由で連結なグラフ $G$ に対して支配数 $\gamma(G)$ が固定定数 $c = c(\mathcal{H})$ 以下に抑えられるような、連結グラフの集合 $\mathcal{H}$ を特定すること。
• このような禁止部分グラフ集合 $\mathcal{H}$ の構造を、誘導部分グラフ $K^{*}_k$, $S^{*}_\ell$, $P_m$ の観点から特徴づけること。
• 支配数と線形同値性を満たす他の支配類似不変量に対しても、この特徴づけを拡張すること。

提案手法

• $\{K^{*}_k, S^{*}_\ell\}$-自由グラフにおける近傍のサイズを束縛するためにラマジー理論を用い、中心頂点からの距離 $i$ における支配集合を制御する再帰関数 $g_{k,\ell}(i)$ と $f_{k,\ell}(i)$ を定義する。
• 固定頂点 $a$ からの距離 $i$ における帰納法を用いて、各レベル $N^i_G(a)$ に対して支配集合を構成し、全体のサイズが有界であることを保証する。
• 禁止部分グラフ集合の比較に $\mathcal{H}_1 \leq \mathcal{H}_2$ の概念を用い、$H_1$ が $H_2$ の誘導部分グラフである場合を定義する。
• すべての $\mathcal{H}$-自由で連結な $G$ に対して $\gamma(G) \leq c$ が成り立つのは、$K^{*}_{c+1}, S^{*}_{c+1}, P_{3c+1}$ が $\mathcal{H}$-自由でない場合に限ることを示し、必要条件を得る。
• $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ ならば $\gamma(G) \leq 1 + \sum_{2 \leq i \leq m-2} f_{k,\ell}(i)$ が成り立つことを証明し、これは $k, \ell, m$ のみに依存する定数である。
• 不変量 $\mu$ が $c_1 \gamma(G) \leq \mu(G) \leq c_2 \gamma(G)$ を満たす場合に、$\mu(G)$ が有界であるのは $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ のときであることを示し、結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの集合 $\mathcal{H}$ に対して、すべての連結な $\mathcal{H}$-自由グラフ $G$ において支配数 $\gamma(G)$ が一様に有界となるか？
• RQ2 $\gamma(G) \leq c$ となるような絶対定数 $c$ を保証する $\mathcal{H}$ の構造的性質は何か？
• RQ3 $K^{*}_k$, $S^{*}_\ell$, $P_m$ は、定数支配数の障害として最小の役割を果たすのはなぜか？
• RQ4 支配類似不変量 $\mu$ に対して、この特徴づけを線形同値性 $\gamma(G)$ と満たすものに拡張できるか？
• RQ5 ラマージー数と再帰的近傍支配関数は、禁止部分グラフ制約下での支配数の束縛にどのように寄与するか？

主な発見

• すべての連結な $\mathcal{H}$-自由グラフ $G$ に対して支配数 $\gamma(G)$ が定数に抑えられるのは、ある正の整数 $k, \ell, m$ に対して $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ のときである。
• 支配数 $\gamma(G)$ の上限は明示的に $\gamma(G) \leq 1 + \sum_{2 \leq i \leq m-2} f_{k,\ell}(i)$ と与えられ、ここで $f_{k,\ell}(i)$ はラマージー数に基づく再帰的に定義された関数である。
• $K^{*}_{c+1}$, $S^{*}_{c+1}$, $P_{3c+1}$ は最小の障害である：これらが誘導部分グラフとして存在する場合、一様な支配数の上限は成立しない。
• 不変量 $\mu$ が $c_1 \gamma(G) \leq \mu(G) \leq c_2 \gamma(G)$ を満たす場合、$\mu(G)$ が有界であるのは $\mathcal{H} \leq \{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ のときである。
• 証明は、ラマージー理論的境界を用いた近傍支配の議論に依拠しており、$\{K^{*}_k, S^{*}_\ell\}$-自由グラフでは、頂点からの距離 $i$ における独立集合が、距離 $i-1$ における小さな集合で支配可能であることを示している。
• 特徴づけはタイトである：もし $\mathcal{H}$ が $\{K^{*}_k, S^{*}_\ell, P_m\}$ に支配されないならば、$\mathcal{H}$-自由グラフ上での $\gamma(G)$ は有界でない。