[論文レビュー] Forcing large complete minors in infinite graphs

Maya Stein, José Zamora|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所的に有限なグラフに限らない一般の無限グラフに対し、相対的終点次数の一般化された概念を導入することで、有限グラフにおける強力な完全 minor の存在に関する古典的結果を無限グラフへと拡張する。最小頂点次数と最小相対的終点次数の組み合わせによって、可算個の終点を持つ無限グラフが十分に高い組み合わせ的次数条件を満たせば、大きな完全位相 minor を含むことを証明しており、Mader の定理および Kostochka-Bollobás-Thomason の定理を無限の設定へ一般化する。

ABSTRACT

It is well-known that in finite graphs, large complete minors/topological minors can be forced by assuming a large average degree. Our aim is to extend this fact to infinite graphs. For this, we generalise the notion of the relative end degree, which had been previously introduced by the first author for locally finite graphs, and show that large minimum relative degree at the ends and large minimum degree at the vertices imply the existence of large complete (topological) minors in infinite graphs with countably many ends.

研究の動機と目的

• 高平均次数が有限グラフにおいて大きな完全 minor を強制することの古典的結果を無限グラフへ拡張すること。
• 無限木のような例によって、最小頂点次数だけでは無限グラフにおいて大きな minor を強制できないことの原因を特定すること。
• 無限グラフの終点における密度を測るための相対的終点次数の概念を導入し、形式化すること。
• 高い最小頂点次数と高い最小相対的終点次数の組み合わせが、可算個の終点を持つ無限グラフにおいて大きな完全位相 minor を強制することを証明すること。
• 頂点と終点における次数条件を組み合わせたものにより、Mader の定理および Kostochka-Bollobás-Thomason の定理を無限の設定へ一般化すること。

提案手法

• 局所的に有限なグラフに限らない、可算個の終点を持つ任意の無限グラフへ、相対的終点次数の概念を一般化すること。
• 終点 ω の相対的次数を、ω に収束する ω-領域の列 (Hi) に対する liminf で |∂eHi| / |∂vHi| の下界として定義する。
• G 内のすべての頂点次数および相対的終点次数の最小値として、組み合わせ的最小次数 δV,Ω(G) を定義する。
• 平均次数を段階的に増加させるための有限部分グラフ Si の再帰的構成を用いる。
• 平均次数が有界な部分グラフに無限のレイトが存在すると仮定した場合に、Kőnig の無限性補題を用いて矛盾を導く。
• 互いに素な有限集合 F ∈ F 及びそれらの分離性の性質を活用し、接続性と次数の増加を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高平均次数が有限グラフにおいて大きな完全 minor を強制することの古典的結果を、無限グラフへ拡張できるか？
• RQ2 最小頂点次数に加えて、無限グラフにおいて大きな完全 minor を強制するために何らかの追加の構造的条件が必要か？
• RQ3 無限グラフにおいて無限に逃げる密度を捉えるために、終点次数の概念をどのように形式化できるか？
• RQ4 頂点次数と終点次数の両方を含む次数条件が、可算個の終点を持つ無限グラフにおいて大きな完全位相 minor の存在を保証できるか？
• RQ5 相対的終点次数は、無限グラフの minor 定理において平均次数の適切な代替として機能するか？

主な発見

• 論文は、組み合わせ的最小次数 δV,Ω(G) が c1k√log k を超えるならば、完全グラフ Kk が G の minor であることを確立している。
• 位相 minor の場合、δV,Ω(G) > c2k² ならば、Kk は G の位相 minor である。これは、有限の場合の結果を無限グラフへ拡張する。
• 部分グラフ G′ に無限個の頂点を持つレイトが存在するという事実は、構成の矛盾を示しており、したがってこのプロセスは有限部分グラフに終了し、高い平均次数を持つことになる。
• 集合 Si の構成により、G′[Si] 内の頂点の平均次数が m−k+1 を超えることが保証され、結果として十分な密度を持つ有限部分グラフが得られ、大きな完全 minor を含むことになる。
• 相対的終点次数は、無限グラフにおいて密度が無限に逃げることを防ぐ強力な密度測度を提供する。
• 証明は、有限部分グラフの再帰的構成と Kőnig の無限性補題を用いて、大きな minor が存在しないという仮定から矛盾を導く。