[論文レビュー] Forcing theory for transverse trajectories of surface homeomorphisms

Patrice Le Calvez, Fábio Armando Tal|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 38被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、恒等写像にホモトープな曲面の同相写像における横断的軌道のための新しい強制理論を提示する。最大同倫と横断的 foliation を用いて力学的帰結を導出し、アニュラス上のハミルトニアン同相写像の回転集合が内部に 0 を含むならば、その回転集合はシングルトンであるか、あるいは内部に 0 を含むことを証明し、ボーイランド予想を解決する。また、トーラスおよびアニュラスの同相写像における回転集合とエントロピーに関する新たな結果を確立する。

ABSTRACT

This paper studies homeomorphisms of surfaces isotopic to the identity by means of purely topological methods and Brouwer theory. The main development is a novel theory of orbit forcing using maximal isotopies and transverse foliations. This allows us to derive new proofs for some known results as well as some new applications, among which we note the following: we extend Franks and Handel's classification of zero entropy maps of $S^2$ for non-wandering homeomorphisms; we show that if $f$ is a Hamiltonian homeomorphism of the annulus, then the rotation set of $f$ is either a singleton or it contains zero in the interior, proving a conjecture posed by Boyland; we show that there exist compact convex sets of the plane that are not the rotation set of some torus homeomorphisms, proving a first case of the Franks-Misiurewicz Conjecture; we extend a bounded deviation result relative to the rotation set to the general case of torus homeomorphisms.

研究の動機と目的

• 最大同倫と横断的 foliation を用いて、恒等写像にホモトープな曲面同相写像における横断的軌道のための新しい強制理論を開発すること。
• 滑らかでない状況を含む、曲面同相写像における正の位相的エントロピーを検出するための位相的・滑らかでないメカニズムを提供すること。
• 滑らかでない、あるいは C1 でない場合を含む一般の同相写像について、既知の回転集合と周期点の増加に関する結果を拡張すること。
• 平面内の特定のコンパクトな凸集合が、トーラス同相写像の回転集合として実現可能でないことを示し、フランクス＝ミシュエヴィッチ予想を支持すること。
• C1 や滑らかさの仮定を超えて、回転集合に関する有界な偏差に関する結果を、一般のトーラス同相写像のクラスにまで拡張すること。

提案手法

• 同倫の固定点集合に対して、同相写像の固定点が可縮的軌道を持たないような同倫を最大同倫と定義する。
• 最大同倫に双対する特異的で向き付けられた foliation（横断的 foliation）を用い、軌道が葉に横断的であるようにする。
• 葉の空間内の経路として定義される横断的軌道を導入し、同値を除いて一意に定まるものとし、その交差性を用いて新たな軌道を強制する。
• 鍵となる強制メカニズムを適用する：二つの横断的軌道が横断的に交差するならば、交点で方向を反転させることで新たな軌道を連結して構成可能である。
• 有限の横断的軌道をループの倍数として実現することで、所望の横断的力学を持つ周期点の存在を証明する。
• 無限の横断的軌道の自己交差を活用し、トーラス上の分離議論により、周期点の数が n に対して指数関数的に増加すること、および正の位相的エントロピーが生じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面同相写像における横断的軌道の交差は、新たな周期的軌道や軌道の存在を強制できるか？
• RQ2 アニュラス上のハミルトニアン同相写像の回転集合が内部に 0 を含むのはどのような条件下か？
• RQ3 R^2 のどのコンパクトな凸部分集合が、トーラス同相写像の回転集合として現れる可能性があるか？
• RQ4 滑らかさを仮定しない一般の同相写像において、正の位相的エントロピーを検出できるか？
• RQ5 回転集合に関する有界な偏差に関する結果は、C1 や滑らかさの仮定を超えてどの程度一般化可能か？

主な発見

• アニュラス上のハミルトニアン同相写像の回転集合は、シングルトンであるか、内部に 0 を含む。ボーイランド予想が証明された。
• 平面内に、任意のトーラス同相写像の回転集合として実現不可能なコンパクトな凸集合が存在し、フランクス＝ミシュエヴィッチ予想の第一の事例が確認された。
• 一般のトーラス同相写像について、回転集合に関する有界な偏差結果が確立され、従来の結果が滑らかでない写像へと拡張された。
• 二つの再帰的点が、無限の横断的軌道を横断的に交差するならば、周期 n の周期点の数は n に対して指数関数的に増加する。
• 閉じた曲面上では、横断的軌道の自己交差が、滑らかさの仮定がなくても正の位相的エントロピーを示唆する。
• トーラス同相写像の位相的エントロピーは、log 2 / (m r N) で下から抑えられる。ここで m, r, N は横断的ループの力学から導かれるパラメータである。