[論文レビュー] Forcing with ideals of closed sets

Jindřich Zapletal|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$σ$-集合族から生成される$σ$-理想$σ$-生成されたプロジェクト型閉集合の族によって生成される強制拡張を調査し、得られる順序集合$P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$が正しく、$r_{\text{gen}}$という唯一の実数を追加することを示している。この$\text{gen}$はほとんど最小の次数を持つ：任意の中間モデル$V[s]$は、$V$のコーエン拡張であるか、$V[r_{\text{gen}}]$に等しい。この結果は記述的集合論的技法と大基数仮定に依存し、中間拡張の構造を分析する。

ABSTRACT

Let I be a sigma-ideal sigma-generated by a projective collection of closed sets. The forcing with I-positive Borel sets is proper and adds a single real r of an almost minimal degree: if s is a real in V[r] then s is Cohen generic over V or V[s]=V[r].

研究の動機と目的

• プロジェクト型閉集合族によって$σ$-生成される$σ$-理想によって生成される強制拡張における中間モデルの構造を分析すること。
• 大基数仮定の下で、順序集合$P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$が正しくなることを確立すること。
• 拡張$V[r_{\text{gen}}]$内の実数$s$に対して、中間モデル$V[s]$が$V$のコーエン拡張であるか、$V[r_{\text{gen}}]$に等しいことを示し、ジェネリック実数のほぼ最小の次数を示すこと。
• 記述的集合論と定義可能な正則強制の間の関係を、理想生成の記法を通じて明らかにすること。
• 理想の組合せ的性質が、内部の組合せ的構造とは独立して、定義の記法から直接導かれるかどうかを調査すること。

提案手法

• $I$をプロジェクト型閉集合族によって$σ$-生成される$σ$-理想とするとき、$P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$を包含関係で順序づける順序集合の使用。
• 可算な初等部分モデル$M$に対する$M$-ジェネリック実数の概念を用いて、マスターコンディションを構成し、正則性を証明すること。
• $P_I$が$<\omega_1$-正則であることを示すために、条件$A$における$M$-ジェネリック実数の集合$A^*$を候補マスターコンディションとして構成し、$M$内の稠密集合の列に対する対角線的反復により$A^* \notin I$であることを示すこと。
• ジェネリック実数$r_{\text{gen}}$は、名前$\dot{r}_{\text{gen}}(n) \in m$がジェネリックフィルターに属するとき、$r_{\text{gen}}$がフィルター内のすべてのボレル集合に属することを強制することにより定義され、$r_{\text{gen}}$はフィルターによって一意に決定され、名前$\dot{r}_{\text{gen}}$によって定義可能である。
• 理想$J$を$J$-小のボレル集合の族とし、中間拡張を$c.c.c.$拡張か完全拡張に還元することにより、任意のsuch $s$が$P_J$-ジェネリックであることを示すこと。
• コーエンジェネリックを用いて、$P_J$-ジェネリック実数がコーエン拡張に存在することを示す。$P_I$-正の集合に射影する木を通り、すべての$I$-小な床モデル集合を避けるパスを構成することで実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジェネリック実数$r_{\text{gen}}$が$P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$に対してジェネリックであるとき、$V$と$V[r_{\text{gen}}]$の間の中間モデル$V[s]$の構造は何か？
• RQ2 $P_I$が正しくなる条件は何か？ そして、閉集合族の定義的複雑性とはどのように関係するか？
• RQ3 理想$I$の組合せ的性質に依存せずに、ジェネリック実数$r_{\text{gen}}$がほぼ最小の次数を持つことを示せるか？
• RQ4 $P_I$の正則性は強制拡張の間で絶対的か？ また、$I$の定義から記法的に証明可能か？
• RQ5 正則であるが$<\omega_1$-正則でない、あるいはジェネリック実数が最小の次数を持たないような理想$I$は存在するか？

主な発見

• 大基数仮定の下で、$I$がプロジェクト型閉集合族によって$σ$-生成される$σ$-理想である限り、順序集合$P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$は$<\omega_1$-正則である。
• 強制$P_I$は、任意の中間モデル$V[s]$が$V$のコーエン拡張であるか$V[r_{\text{gen}}]$に等しい唯一の実数$r_{\text{gen}}$を追加する。これにより、ほぼ最小の次数が確立される。
• ジェネリック実数$r_{\text{gen}}$は、ジェネリックフィルター内のすべてのボレル集合に属することを強制され、フィルターによって一意に決定されるため、名前$\dot{r}_{\text{gen}}$によって定義可能である。
• 任意の実数$s$が$V[r_{\text{gen}}]$に属するとき、$V[s]$が$V$の$c.c.c.$拡張であれば、適切な$σ$-理想$J$に対して$s$は$P_J$-ジェネリックであり、このような実数はコーエン拡張に存在する。
• コーエン拡張に$P_J$-ジェネリック実数が存在することは、$P_I$-正の集合に射影する木を通るパスを構成し、すべての$I$-小な床モデル集合を避けることで確立される。
• この論文は、閉集合ゼロ測度理想のような理想では、その組合せ的構造が記法的性質だけでは捉えきれない可能性があるという証拠を提供している。