[論文レビュー] Formal completion of a category along a subcategory

Alexander I. Efimov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンパクト生成された強化された三角関手カテゴリに、完全な厚さの本質的に小さな三角関手部分カテゴリに沿ったカテゴリカルな形式的完成の構成を、導来二重中心化子を用いて導入する。この構成が、ネーター的スキームの閉部分スキームに沿った通常の形式的完成と、ベイリンソン・パーシンのアーデールを両方とも回復することを証明し、ホモロジー代数を用いたこれらの古典的な幾何的構成を統一する枠組みを確立する。

ABSTRACT

Following an idea of Kontsevich, we introduce and study the notion of formal completion of a compactly generated (by a set of objects) enhanced triangulated category along a full thick essentially small triangulated subcategory. In particular, we prove (answering a question of Kontsevich) that using categorical formal completion, one can obtain ordinary formal completions of Noetherian schemes along closed subschemes. Moreover, we show that Beilinson-Parshin adeles can be also obtained using categorical formal completion.

研究の動機と目的

• DG強化と導来二重中心化子を用いて、コンツェビッチのカテゴリカル形式的完成のアイデアを形式化すること。
• ネーター的スキームの閉部分スキームに沿った古典的形式的完成を一般化する普遍的構成を確立すること。
• ベイリンソン・パーシンのアーデールが、このカテゴリカル形式的完成プロセスから自然に生じることを示すこと。
• 幾何的完成現象—スキームの完成とアーデール—を、一つのカテゴリカルな枠組みで統一すること。

提案手法

• コンパクト生成された強化された三角関手カテゴリを、完全な厚さの本質的に小さな三角関手部分カテゴリに沿って、導来二重中心化子を用いて形式的完成する。
• 導来カテゴリ D(A) 内の対象 M の導来二重中心化子を、RHom_{B^{op}}(M)^{op} として定義する。ここで B = RHom_A(M) である。
• 二重中心化子の準同型類が、M によって古典的に生成される三角関手部分カテゴリにのみ依存することを示す。
• ホモトピー極限を用いて DG代数と二重中心化子を関連させ、特にネーター的スキームの文脈で形式的完成を扱う。
• 形式的完成の代数的化された導来カテゴリを定義し、カテゴリカル完成と比較可能にする。
• カテゴリカル完成と代数幾何学における古典的構成との間の同値性を示す可換図式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉部分スキームに沿ったスキームの形式的完成は、導来カテゴリと二重中心化子を用いてカテゴリカルに再構成可能か？
• RQ2 カテゴリカル形式的完成の構成は、ネーター環の通常の I-進完成を再現するか？
• RQ3 ベイリンソン・パーシンのアーデールは、カテゴリカル形式的完成の特別な場合として得られるか？
• RQ4 導来カテゴリの部分カテゴリに沿ったカテゴリカル完成が、スキームの形式的完成の導来カテゴリを回復する条件は何か？
• RQ5 自然な仮定の下で、元のカテゴリから形式的完成への制限関手は全単射的かつ忠実か？

主な発見

• D(X) を D^b_{coh,Y}(X) に沿って形式的完成すると、古典的スキームの形式的完成 X_hat_Y の代数的化された導来カテゴリ D_{alg}(X_hat_Y) と同値になる。これは、ネーター的スキーム X を閉部分スキーム Y に沿って形式的完成する古典的構成を回復する。
• 正則ネーター代数 R 上で、有限生成コホモロジーを持つ複体 M に対して、H^*(M) の annihilator 沿いのカテゴリカル完成は、R の通常の I-進完成に一致する。
• R または R/I が正則であれば、部分カテゴリ D^b_{coh}(Spec R/I) 沿いのカテゴリカル完成は、R の I-進完成を与える。これは、導来カテゴリにおける完成に関する予想を確認する。
• カテゴリカル形式的完成を用いたベイリンソン・パーシンのアーデールの構成は、古典的定義と同値であり、両者を結ぶ可換図式が示される。
• 自然な仮定の下で、元のカテゴリから形式的完成への制限関手は全単射的かつ忠実であり、二重完成は元の完成と同値である。
• 無限小近傍に関連する DG代数のホモトピー極限は、形式的完成を回復する。これは、カテゴリカル構成と幾何的構成の間の技術的橋渡しを提供する。