[論文レビュー] Formal dimension for semisimple symmetric spaces

Bernhard Kroetz|ArXiv.org|Apr 6, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半単純対称空間 $ H\backslash G $ の正則離散的系列における $ H $-球面的単位的高重量表現の形式次元 $ d(\theta) $ を計算し、ハリシュ・チャンドラの群の場合の公式を一般化する。主な結果は、$ d(\theta) $ が群の形式次元 $ d(\theta)^G $ と、非コンパクト因果的双対空間の $ c $-関数 $ c(\theta + \rho) $ の積として表されることを示しており、超関数ベクトルに対する平均化定理と解析接続を用いて導出される。

ABSTRACT

In this paper we generalize Harish Chandra's formula for the formal dimension of a representation of the holomorphic discrete series of a hermitian Lie group $G$ to semisimple symmetric spaces $G/H$.

研究の動機と目的

• 群の場合のハリシュ・チャンドラの形式次元の概念を、半単純対称空間 $ H\backslash G $ に一般化すること。
• 相対的正則離散的系列における $ H $-球面的単位的高重量表現の形式次元 $ d(\theta) $ を定義し、計算すること。
• 形式次元 $ d(\theta) $ の公式を、既知の $ c $-関数と群の形式次元 $ d(\theta)^G $ を用いて表すこと。この公式は大きなパラメータ $ \theta $ に対して有効である。
• 解析接続の技法を用いて、公式を大きなパrameterの範囲を超えてすべてのパラメータに拡張すること。
• 結果を球面的正則表現理論に応用し、特に最大オルシャンスキー半群の文脈において検証すること。

提案手法

• $ H $-不変な超関数ベクトル $ \nu $ と $ HZ\backslash G $ 上の行列係数積分を用いて、$ H $-球面的高重量表現に対する形式次元 $ d(\theta) $ を定義する。
• 平均化定理を確立する：大きな $ \theta $ に対して、$ \pi_\theta(h)v_\theta $ の $ H $-積分は、非コンパクト因果的双対空間の $ c $-関数 $ c(\theta + \rho) $ を含む $ \nu $ の定数倍に収束する。
• 平均化定理の結果を $ d(\theta) $ の定義に代入することで、鍵となる公式 $ d(\theta) = d(\theta)^G \cdot c(\theta + \rho) $ を導出する。
• オーラフッソンとオルステッドの手法を用いて、解析接続の技法により、公式を大きなパラメータの範囲を超えて拡張する。
• $ c(\theta) = c_0(\theta) c_\Omega(\theta) $ と分解する。ここで $ c_0 $ はリーマン型対称部分空間に対応し、$ c_\Omega $ は有界対称領域の実形式に対応する。
• 公式を球面的特徴標と球面関数に適用し、最大オルシャンスキー半群 $ S_{\rm max}^0 $ 上で、解析接続と正則関数の恒等定理を用いて、ある離散格子上で関数が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純対称空間 $ H\backslash G $ の正則離散的系列における $ H $-球面的単位的表現の形式次元 $ d(\theta) $ は、どのように定義され、計算されるか？
• RQ2 対称空間の文脈において、形式次元 $ d(\theta) $ と群の形式次元 $ d(\theta)^G $ の関係は何か？
• RQ3 非コンパクト因果的双対空間 $ H^c\backslash G^c $ の $ c $-関数は、$ d(\theta) $ の公式にどのように関与するか？
• RQ4 形式次元 $ d(\theta) $ の公式は、大きなパラメータ領域を超えて解析接続可能か？
• RQ5 公式は、最大オルシャンスキー半群上での球面的特徴標と球面関数にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $ H $-球面的正則離散的系列表現の形式次元 $ d(\theta) $ は、$ d(\theta) = d(\theta)^G \cdot c(\theta + \rho) $ で与えられる。ここで $ d(\theta)^G $ は群の形式次元、$ c(\theta + \rho) $ は非コンパクト因果的双対空間の $ c $-関数である。
• 平均化定理により、$ \int_H \pi_\theta(h)v_\theta \, d\mu_H(h) = \frac{\|v_\theta\|^2}{|\langle \nu, v_\theta \rangle|} c(\theta + \rho) \nu $ が成立する。この式は大きな $ \theta $ に対して成り立ち、積分は超関数ベクトルのフレシェ空間で解釈される。
• 公式 $ d(\theta) = d(\theta)^G c_0(\theta + \rho) c_\Omega(\theta + \rho) $ は、$ c $-関数をリーマン型対称部分空間と有界対称領域の実形式からの寄与に分解する。
• オーラフッソンとオルステッドの手法を用いて、$ d(\theta) $ の解析接続が確立され、公式がすべてのパラメータに拡張される。
• 球面的特徴標 $ \Theta_\theta(s) $ は $ S_{\rm max}^0 $ 上の $ H $-双不変な正則関数であり、離散格子上で消えることは、恒等定理により自明性を示唆する。
• 球面関数 $ \varphi_\lambda $ は $ S_{\rm max}^0 \cap HAN $ 上で、$ a_H(sh)^{\lambda - \rho} $ の $ H $-積分と関係する。関数 $ f $ が $ i(\Gamma \cap W) $ 上で消えることは、$ f = 0 $ を意味し、これは、離散ゼロ集合を持つチューブ領域上での正則関数の一意性を確認する。