[論文レビュー] Formal gluing along non-linear flags

Benjamin Hennion, Mauro Porta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、体 $k$ 上で局所的に有限型である任意のアーティンスタック上の、ほぼ完全複体のスタックおよび $G$-バンドルの形式的貼り合わせ定理を、非可換代数幾何を用いて、穴あき形式的近傍における整合性を定義することで確立する。主な貢献は、非線形フラッグに沿った分解を拡張し、導来アーティンスタックへと拡張し、(ほぼ) 完全モジュールの導来 $Σ$-カテゴリに対する新しい局在化およびフラッグ分解公式を導く。

ABSTRACT

In this paper we prove formal glueing along an arbitrary closed substack $Z$ of an arbitrary Artin stack $X$ (locally of finite type over a field $k$), for the stacks of (almost) perfect complexes , and of $G$-bundles on $X$ (for $G$ a smooth affine algebraic $k$-group scheme). By iterating this result, we get a decomposition of these stacks along an arbitrary nonlinear flag of closed substacks in $X$. By taking points over the base field, we deduce from this both a formal glueing, and a flag-related decomposition formula for the corresponding symmetric monoidal derived $\infty$-categories of (almost) perfect modules. When $X$ is a quasi-compact and quasi-separated scheme, we also prove a localization theorem for almost perfect complexes on $X$, which parallels Thomason's localization results for perfect complexes. This is one of the main ingredients we need to provide a global characterization of the category of almost perfect complexes on the punctured formal neighbourhood. We then extend all of the previous results - i.e. the formal glueing and flag-decomposition formulas - to the case when $X$ is a derived Artin stack (locally almost of finite type over a field $k$), for the derived versions of the stacks of (almost) perfect modules, and of $G$-bundles on $X$. We close the paper by highlighting some expected progress in the subject matter of this paper, related to a Geometric Langlands program for higher dimensional varieties. In an Appendix (for $X$ a variety), we give a precise comparison between our formal glueing results and the rigid-analytic approach of Ben-Bassat and Temkin.

研究の動機と目的

• 任意の体 $k$ 上で局所的に有限型であるアーティンスタック上の(ほぼ) 完全複体および $G$-バンドルのスタックにおける形式的貼り合わせを確立すること。
• 形式的貼り合わせを、$k$ 上で局所的にほぼ有限型である導来アーティンスタックへと拡張すること。
• 閉部分スタックの穴あき形式的近傍におけるほぼ完全複体のグローバルな特徴付けを提供すること。
• 導来 $Σ$-カテゴリの(ほぼ) 完全モジュールに対するフラッグ関連の分解公式を導出すること。
• 高次元の幾何学的ラングランズプログラムの基盤的ツールを構築すること。

提案手法

• 穴あき形式的近傍をモデル化する関手 $\widehat{\mathfrak{W}}^\circ_{Z/X}$ を定義するが、これは下降性を欠くが、(ほぼ) 完全モジュールおよび $G$-バンドルに対しては下降性を有する。
• エタール下降技術を用いて、(ほぼ) 完全モジュールおよび $G$-バンドルが、この標準的でないサイトに沿って下降することを証明する。
• ヴェルディエ商および $t$-構造技術を用いて、ほぼ完全モジュールの導来カテゴリを分析する。
• 準コンパactsかつ準コンパクトなスキーム上のほぼ完全複体の局在化定理を構築し、トーマソンの結果に類似させる。
• イデムポテン成分とインダクティブ完備化を用いて、導来設定におけるモジュールのカテゴリとそのインダクティブ完備化との関係を関係づける。
• 対称的モノイダル安定 $k$-線形 $Σ$-カテゴリの $∞$-圏的枠組みにおいて、結果を導来アーティンスタックへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアーティンスタックに対して、スキームやデリーニュ＝ムムフォードスタックに限らない、(ほぼ) 完全複体のスタックにおける形式的貼り合わせを確立できるか？
• RQ2 両者の交わりが空集合である場合、開補集合上と形式的完成上における対象間の整合性をどのように定義できるか？
• RQ3 閉部分スタックの穴あき形式的近傍における、ほぼ完全モジュールの導来 $Σ$-カテゴリの構造は何か？
• RQ4 任意の非線形フラッグに沿って、幾何的対象のスタックに対してフラッグ分解を構成できるか？
• RQ5 古典的交わりが存在しない状況下で、非可換代数幾何が形式的貼り合わせを可能にする役割は何か？

主な発見

• 任意の体 $k$ 上で局所的に有限型であるアーティンスタック $X$ に対して、スタック $\mathbf{Perf}^\otimes_X$、$\mathbf{Coh}^\otimes_{X,-}$、$\mathbf{Bun}_G(X)$ における形式的貼り合わせが、対称的モノイダル $∞$-カテゴリ値で成立する。
• 導来 $Σ$-カテゴリのほぼ完全モジュールは、任意の非線形フラッグに沿って分解可能であり、古典的貼り合わせを一般化する。
• 準コンパクトかつ準コンパクトなスキーム上のほぼ完全複体の局在化定理が確立され、トーマソンの結果がほぼ完全設定へと拡張される。
• 穴あき形式的近傍関手 $\widehat{\mathfrak{W}}^\circ_{Z/X}$ は、自身には下降性がないものの、(ほぼ) 完全モジュールおよび $G$-バンドルに対しては下降性を有する。
• 結果は、$k$ 上で局所的にほぼ有限型である導来アーティンスタックへと拡張され、導来設定における同様の形式的貼り合わせおよびフラッグ分解定理が得られる。
• ベン＝バサットとテンキンの剛体的解析的アプローチと比較し、代数的設定において整合性と特徴的な利点を示す。