[論文レビュー] Formal Languages in Dynamical Systems

G. Troll|ArXiv.org|May 21, 1993

Cellular Automata and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、細胞オートマトン（CA）の不変サブシフトにおける記号的力学系と形式的言語の間の圏論的関手的対応を確立し、サブシフト間の位相的同相が言語間の空文字列制限付き一般化逐次機械に対応することを示している。Chomsky階層による形式的言語の複雑さが力学系における同相不変量として成立し、カオス的散乱における捕獲集合における複雑さの遷移の研究を可能にする。

ABSTRACT

We treat here the interrelation between formal languages and those dynamical systems that can be described by cellular automata (CA). There is a well-known injective map which identifies any CA-invariant subshift with a central formal language. However, in the special case of a symbolic dynamics, i.e. where the CA is just the shift map, one gets a stronger result: the identification map can be extended to a functor between the categories of symbolic dynamics and formal languages. This functor additionally maps topological conjugacies between subshifts to empty-string-limited generalized sequential machines between languages. If the periodic points form a dense set, a case which arises in a commonly used notion of chaotic dynamics, then an even more natural map to assign a formal language to a subshift is offered. This map extends to a functor, too. The Chomsky hierarchy measuring the complexity of formal languages can be transferred via either of these functors from formal languages to symbolic dynamics and proves to be a conjugacy invariant there. In this way it acquires a dynamical meaning. After reviewing some results of the complexity of CA-invariant subshifts, special attention is given to a new kind of invariant subshift: the trapped set, which originates from the theory of chaotic scattering and for which one can study complexity transitions.

研究の動機と目的

• 形式的言語と力学系の関係を形式化すること、特に細胞オートマトンによって記述されるものについて。
• CA不変サブシフトと形式的言語の間の単射写像を、位相的同相を保存する関手的構造へと拡張すること。
• 形式的言語の複雑さのChomsky階層が、記号的力学系における不変量としてどのように対応するかを調査すること。
• カオス的散乱から生じる新たな不変サブシフトのクラス—捕獲集合—を導入し、それらの複雑さの遷移を分析すること。

提案手法

• シフト写像を基礎的力学系として用い、記号的力学系の圏から形式的言語の圏への関手を定義する。
• サブシフトから形式的言語への写像を構築し、空文字列制限付き一般化逐次機械を介して位相的同相を保存する。
• カオス的系における周期点の稠密性を用いて、サブシフトへの自然な言語割り当てを定義する。
• Chomsky階層を用いて言語の複雑さを分類し、力学系の文脈において位相的同相下で不変であることを示す。
• カオス的散乱における捕獲集合を、複雑さ解析のための新たな不変サブシフトのクラスとして導入する。
• 圏論的言語を用いて形式的言語理論と記号的力学系を統合し、力学系と言語の間の構造的比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAのサブシフトに形式的言語を体系的に割り当てる方法は何か？ これによりその力学的構造がどのように反映されるか？
• RQ2 記号的力学系と形式的言語の間の圏論的関係は何か？ そして、位相的同相をどのように保存するか？
• RQ3 Chomsky階層は力学系における同相不変量として機能できるか？ もしそうなら、力学的意味が与えられるか？
• RQ4 新たに導入されたカオス的散乱由来の捕獲集合では、複雑さの遷移はどのように現れるか？
• RQ5 周期点は、サブシフトに対する自然な言語表現を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• CA不変サブシフトと形式的言語の間の同定写像は、圏論的構造と同相を保存する関手へと拡張される。
• サブシフト間の位相的同相は、言語間の空文字列制限付き一般化逐次機械へと写像され、構造的対応関係が確立される。
• 形式的言語の複雑さのChomsky階層は、記号的力学系において同相不変量として成立し、力学的意味を獲得する。
• 周期点が稠密である—カオス的力学の特徴的性質—である場合、言語割り当ては特に自然で良好に振る舞う。
• カオス的散乱から生じる捕獲集合は、言語の複雑さの遷移を体系的に研究可能な新たな不変サブシフトのクラスを提供する。
• 関手的枠組みにより、言語理論的複雑さの尺度が力学系へと移行可能となり、新たな不変量と分析ツールが可能になる。