[論文レビュー] Formal loops IV: Chiral differential operators

Mikhail Kapranov, Éric Vasserot|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素多様体 $X$ 上のchiral differential operators (CDO) の層と、形式的ループ空間 ${\cal L}X$ 上の行列式gerbeの間の深い幾何的対応を、対称形式的作用ホモモルフィズム $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ を通じて確立する。主な結果は、CDO層のグローバル構成における障害類が、${\cal L}X$ 上の行列式異常と一致することを示し、無限次元 $\mathcal{D}$-加群理論と因子化構造を用いて、ボーゲン代数幾何学における中心的問題を解決する。

ABSTRACT

We relate the gerbe of sheaves of chiral differential operators (CDO) on a algebraic variety X, studied by Gorbounov, Malikov and Schechtman, to the determinantal gerbe of the formal loop space LX introduced in our earlier paper. The liens of the two gerbes are related by a version of the symplectic action homomorphism. The determinantal gerbe of LX has a factorization structure in the spirit of Beilinson and Drinfeld. In our identification, sheaves of CDO correspond to factorizing objects of this factorization gerbe.

研究の動機と目的

• 複素多様体 $X$ 上のchiral differential operators (CDO) の層を、その形式的ループ空間 ${\cal L}X$ の幾何と関連付けること。
• CDO層のグローバル構成における障害を、${\cal L}X$ 上の行列式異常と特定することで、それを解消すること。
• 対称形式的作用ホモモルフィズム $S$ を用いて、$X$ 上のCDOのgerbeと、${\cal L}X$ 上の行列式gerbeとの間の標準的対応を確立すること。
• 局所的にコンパクトなindスキーム上の無限次元 $\mathcal{D}$-加群に対して、グローバルセクションの正則化ファンクターを構築し、テイラーループ上の $\delta$-関数からボーゲン代数を構成可能にする。

提案手法

• 局所的にコンパクトなindスキーム上の $\mathcal{D}$-加群に対して、行列式補正による直接像ファンクターの失敗を正則化するファンクター $\Gamma_{\cal E}$ を導入する。
• 閉2形式の層 $\Omega^{2,cl}_X$ から ${\cal L}X$ 上の因子化関数へと関連付ける、対称形式的作用ホモモルフィズム $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ を定義する。ここで $\omega \mapsto \exp(\int d^{-1}\omega)$ である。
• テイラーループ空間上の $\delta$-関数 $\delta_{{\cal L}^0 X}$ の押し出しとしてCDOの層を構成し、行列式gerbe ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ を用いて正則化する。
• Beilinson-Drinfeld理論の因子化構造を適用し、$\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 上にボーゲン代数構造を定義し、対称形式的作用と整合性を保つ。
• 評価写像 $ev^*$ とContou-Carrère記号 $\partial$ を導入し、$X$ と ${\cal L}X$ 上の $K_2$-類を関連づけ、チャーン類と障害類を結びつける。
• CDOgerbe類の $S_*$ による像が、$\partial \circ ev^*$ による $ch_2(\Theta_X)$ の像に一致することを証明し、gerbeの同定を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体 $X$ 上のchiral differential operatorsの層のグローバル存在に対する障害は、どのように幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 ${\cal L}X$ 上の行列式gerbeと、$X$ 上のCDOのgerbeとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 無限次元 $\mathcal{D}$-加群理論と因子化構造を用いて、CDO層の構成を正則化できるか？
• RQ4 対称形式的作用ホモモルフィズム $S$ は、CDOの変数変換公式における異常をどのように符号化するか？
• RQ5 ${\cal L}X$ 上の因子化関数と、テイラーループ上の $\delta$-関数のグローバルセクション上に一貫したボーゲン代数構造が対応する範囲はどの程度か？

主な発見

• CDO層のグローバル存在に対する障害類 $[\mathcal{CD}O_X] \in H^2(X, \Omega^{2,cl}_X)$ は、$\frac{1}{2}c_1(X)^2 - c_2(X)$ で与えられる。
• 対称形式的作用ホモモルフィズム $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ は、CDOgerbeのリーフィルと、${\cal L}X$ 上の行列式gerbeのリーフィルとの間の同型を誘導し、この写像を通じて2つのgerbeが同定される。
• 行列式gerbe ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ を用いて正則化されたグローバルセクションファンクター $\Gamma_{\cal E}$ は、$\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 上にwell-definedなボーゲン代数構造をもたらす。
• $CDO$gerbe類 $[\mathcal{CD}O_X^{lt}]$ は $S_*$ で写像され、$H^2(X, \pi_*({\cal O}^*_{{\cal L}X})) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ 内のクラス $\partial(ev^*(ch_2(\Theta_X)))$ に一致する。これが主な同定を確立する。
• この構成により、CDOの変数変換公式における異常が、無限次元ループ空間設定において、正規バンドルの行列式として幾何学的に実現されることを確認する。
• 写像 $S$ を通じたCDOgerbeと${\cal L}X$ 上の行列式gerbeの同定は、$X$ 上の幾何的データからボーゲン代数を構成するための標準的かつ異常のないフレームワークを提供する。