[論文レビュー] Formalising Inductive and Coinductive Containers

Damato, Stefania, Altenkirch, Thorsten+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、単体集合の圏におけるケン・ファイブレーションから、大きな基数 α より小さい濃度のファイバーをもつ普遍的な順序付きケン・ファイブレーション p<α を用いて、コンテキスト付きカテゴリを構成することで、マーティン・ロフ型理論のユニヴァレンス的モデルを導入する。主な貢献は、これらのモデルがユニヴァレンス公理（同値な型は等しい）を満たすことを証明することであり、同型な構造が同一視される形式的数学の体系を支持する意味論を提供する。この構造の空間はコンパクトであるため、ホモトピー的同値において一意的であることが保証される。

ABSTRACT

Containers capture the concept of strictly positive data types in programming. The original development of containers is done in the internal language of locally cartesian closed categories (LCCCs) with disjoint coproducts and W-types, and uniqueness of identity proofs (UIP) is implicitly assumed throughout. Although it is claimed that these developments can also be interpreted in extensional Martin-Löf type theory, this interpretation is not made explicit. In this paper, we present a formalisation of the results that "containers preserve least and greatest fixed points" in Cubical Agda, thereby giving a formulation in intensional type theory. Our proofs do not make use of UIP and thereby generalise the original results from talking about container functors on Set to container functors on the wild category of types. Our main incentive for using Cubical Agda is that its path type restores the equivalence between bisimulation and coinductive equality. Thus, besides developing container theory in a more general setting, we also demonstrate the usefulness of Cubical Agda’s path type to coinductive proofs.

研究の動機と目的

• マーティン・ロフ型理論の新たなクラスのモデルを確立し、ユニヴァレンス公理を満たすようにすること。
• 単体集合における普遍的ファイブレーションから導かれるコンテキスト付きカテゴリを用いて、型理論の意味論を形式化すること。
• これらのモデルが ZFC と整合的であり、数学のホモトピー的整合性のある形式的記述を可能にすること。
• 型システムと準方程式的理論の初期モデルを系統的に結びつける枠組みを提供すること。
• 準方程式的仕様を用いて型理論的システムの形式的かつ自動化可能な検証の基盤を築くこと。

提案手法

• 局所的にカルテジアン閉カテゴリー C と、引き戻しをもつユニバース p: eU → U から、コンテキスト付きカテゴリ CC(C, p) を構成する。
• 単体集合の圏 ∆opSets を基礎的モデルとして用い、Grothendieck トポスおよび局所的にカルテジアン閉カテゴリーとしての構造を活用する。
• 濃度 < α のファイバーをもつ普遍的な順序付き準同型 eV<α → V<α を定義し、そこから普遍的ケン・ファイブレーション p<α: eU<α → U<α を抽出する。
• U<α がケン単体集合であることを証明する（定理 5）、これにより良好なホモトピー的性質が保証される。
• p<α がユニヴァレンス的であることを示す（定理 7）、すなわち、写像 mq: B → Eq(E×B, B×E) が弱同値であることを意味し、ユニヴァレンス原理を符号化する。
• p<α 上の構造（積、余積、等価性、ユニバース）の空間がコンパクトであることを示す（定理 3）、これは本質的に一意的であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFC と整合的であり、ユニヴァレンス公理を満たすマーティン・ロフ型理論のモデルを構成可能か？
• RQ2 型システムを準方程式的理論の初期モデルとどのように形式的に結びつけるか？
• RQ3 単体集合におけるケン・ファイブレーションは、型理論のホモトピー的意味論を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 普遍的ファイブレーション p<α 上の構造（例：依存積、等価性）の空間は本質的に一意的か？
• RQ5 ユニヴァレンス的モデルを用いて、同型な構造を同一視する方法で数学を形式化可能か？

主な発見

• コンテキスト付きカテゴリ CC(∆opSets, p<α) は、ユニヴァレンス公理を満たす型理論のユニヴァレンス的モデルを形成する。
• p<α 上の構造（積、余積、等価性、ユニバース）の空間はコンパクトであるため、ホモトピー的同値において一意的であることが保証される。
• ファイブレーション p<α はユニヴァレンス的であり、同値な型が等しいという原理を直接符号化している。
• この構成により、ユニヴァレンス公理と排中律の両方を満たす型理論のモデルが得られ、ZFC に対する整合性が証明される。
• 型システムに対応する準方程式的理論の初期モデルは、この構成を用いて ZFC 内で実現可能である。
• この枠組みは、型システムとその意味論的モデルとの間で、形式的かつ系統的かつ自動化可能な関係をサポートする。