[論文レビュー] Formality conjecture for chains

Boris Tsygan|ArXiv.org|Apr 23, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体 $M$ の $C^{\infty}(M)$ のホッフシュィルトおよびサイクリック鎖複体に対する一般化された形式性予想を提示する。これはコホホルツィクの形式性定理をコチェーンに拡張したものであり、ホッフシュィルト鎖複体が、ゲルステンハーバー代数の変形上での $G_{\infty}$-加群としてド・ラーム複体と準同型であると予想する。この準同型写像はホッフシュィルトコチェーンの作用に関して不変である。主な貢献は、ホモトピー代数を用いた変形量子化におけるトレースおよび特徴類の計算のための枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We state the analogs of Kontsevich's formality conjecture for Hochschild and cyclic chains, as well as their

研究の動機と目的

• コホホルツィクのホッフシュィルトコチェーンの形式性定理を、ホッフシュィルトおよびネガティブサイクリック鎖複体の設定に拡張すること。
• ホッフシュィルト鎖複体 $C^{\bullet}(C^{\infty}(M),C^{\infty}(M))$ が、ゲルステンハーバー代数の $\epsilon$-変形上での $G_{\infty}$-加群としてド・ラーム複体 $\Omega^{\bullet}(M)$ と準同型であると予想すること。
• ホモトピー代数を用いて、変形量子化におけるトレースおよび特徴類（例：$\widehat{A}$-類）を計算するための枠組みを確立すること。
• $G_{\infty}$-加群構造と $\epsilon$-変形を導入することで、形式性原理を鎖複体へ一般化すること。
• コンネスのホッフシュィルトホモロジーとネガティブサイクリックホモロジーの間の準同型写像が、ホッフシュィルトコチェーンの作用に関して不変であることを、ホモトピー的基礎づけすること。

提案手法

• ホッフシュィルトコチェーン複体 $C^{\bullet}(A,A)$ に、ゲルステンハーバー括弧と微分を拡張する $G_{\infty}$-代数構造を導入する。
• 奇数パラメータ $\epsilon$ を用いてゲルステンハーバー代数の変形 $V^{\bullet}[\epsilon]$ を定義し、BV作用素構造を符号化する。
• ホッフシュィルト鎖複体 $C_{\bullet}(A,A)$ に、$C^{\bullet}(A,A)[\epsilon]$ 上の $G_{\infty}$-加群構造を構成し、作用は $L_D$ 演算子によって与える。
• タマルキンの手法を用いて、$C_{\bullet}(A,A)$ の $G_{\infty}$-加群構造のコホモロジーがド・ラーム複体 $\Omega^{\bullet}(M)$ を回復することを示す。
• ホッフシュィルト鎖複体 $C_{\bullet}(C^{\infty}(M),C^{\infty}(M))$ とド・ラーム複体 $\Omega^{\bullet}(M)$ の間の $G_{\infty}$-準同型写像の存在を予想する。この写像は $G_{\infty}$-加群作用と整合的である。
• 予想される形式性と、ホモトピー論的技法を用いたポisson多様体の $\widehat{A}$-類の構成との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッフシュィルト鎖複体 $C^{\infty}(M)$ は、$\epsilon$-変形されたゲルステンハーバー代数上での $G_{\infty}$-加群としてド・ラーム複体と準同型であるか？
• RQ2 ホッフシュィルトとネガティブサイクリックホモロジーの間のコンネスの準同型写像は、$G_{\infty}$-加群作用に関して不変な写像に持ち上げられるか？
• RQ3 ホッフシュィルトコチェーン複体の形式性は、$G_{\infty}$-加群の意味で鎖複体の形式性を示唆するか？
• RQ4 ホモトピー代数と形式性を用いて、ポisson多様体の $\widehat{A}$-類をどのように構成できるか？
• RQ5 $\epsilon$-変形は、鎖複体上でのBV構造およびホモトピー的BV代数の実現に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ホッフシュィルト鎖複体 $C_{\bullet}(C^{\infty}(M),C^{\infty}(M))$ が、$\Gamma(M,\wedge^{\bullet}T)[\epsilon]$ 上での $G_{\infty}$-加群としてド・ラーム複体 $\Omega^{\bullet}(M)$ と準同型であると予想する。
• この予想は、形式的ポアソン構造を用いた代数 $C^{\infty}(M)[[t]]$ の上のトレースの空間が、多様体 $M$ のド・ラームコホモロジーと同型であることを示唆する。
• 正則なポアソン多様体の $\widehat{A}$-類は、シンプレクティック葉層の接バンドルの $\widehat{A}$-類と予想される。
• 定理 5.3.3 は、ホッフシュィルト鎖複体が $\mathfrak{g}_{G}^{\bullet}(A)[\epsilon]$ 上に $L_{\infty}$-加群構造を備え、作用が $L_D$ 演算子によって与えられることを確認する。
• 本稿は、$G_{\infty}$-加群と $\epsilon$-変形を用いて、コチェーンから鎖複体への形式性の一般化のためのホモトピー的枠組みを提供する。
• この予想は、$G_{\infty}$-不変写像を通じて、変形代数のネガティブサイクリックホモロジーが元の代数の周期的サイクリックホモロジーと同型であることを示唆する。