[論文レビュー] Formality of 7-dimensional 3-Sasakian manifolds

Marisa Fernández, Stefan Ivanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2015

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、単連結なコンパクトな7次元3-サッカーシアン多様体が、形式的であるための必要十分条件が、その2番目のベッチ数 b₂ ≤ 1 であること、を確立している。また、b₂ ≥ 2 を満たす7次元のサッカーエインシュタイン多様体の明示的例を構成し、それらが形式的であるが3-サッカーシアン構造をもたないことを示した。主な貢献は、7次元における形式的性とマッセイ積に基づく、3-サッカーシアン構造に対する位相的障害である。

ABSTRACT

We prove that any simply connected compact 3-Sasakian manifold, of dimension seven, is formal if and only if its second Betti number is $b_2<2$. In the opposite, we show an example of a 7-dimensional Sasaki-Einstein manifold, with second Betti number $b_2\geq 2$, which is formal. Therefore, such an example does not admit any 3-Sasakian structure. Examples of 7-dimensional simply connected compact formal Sasakian manifolds, with $b_2\geq 2$, are also given.

研究の動機と目的

• 単連結なコンパクトな7次元3-サッカーシアン多様体の形式的条件を特定すること。
• b₂ ≥ 2 を満たすが3-サッカーシアン構造をもたない、明示的な形式的サッカーエインシュタイン多様体の構成。
• 形式的性とマッセイ積を用いて、7次元におけるサッカーエインシュタイン多様体と3-サッカーシアン多様体の位相的差異を明確にすること。
• b₂ ≥ 2 のとき、形式的であることだけでは3-サッカーシアン構造の存在を保証しないことの証明。これは、高次のマッセイ積がすべて0であるにもかかわらず成り立つ。

提案手法

• 7次元多様体の有理ホモトピー型を解析するため、最小モデルと微分付き代数（DGAs）を用いる。
• 最小モデルのコホモロジーにおけるすべての三重マッセイ積の消滅によって形式的であることを特徴付ける。
• Kähler-Einstein6次元多様体 M = ℂP³#(k 個の)ℂP³ 上のS¹バンドルの全空間 N を構成する。Euler類は ℓb − Σai とする。
• M が単連結な6次元多様体であることから形式的であることを利用し、モデル (A, d) = H*(M) ⊗ V(x), |x|=1, dx = ℓb − Σai のコホモロジーを計算する。
• 関係 ai·aj = 0 (i≠j) および d(x·ai) = −a²i により、すべての三重マッセイ積が消えることが示され、形式的であることが導かれる。
• 3-サッカーシアン多様体は b₂ ≤ 1 を満たさねばならないという事実を用いて、b₂ ≥ 2 を満たす形式的多様体には3-サッカーシアン構造が存在しないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結なコンパクトな7次元3-サッカーシアン多様体が形式的であるための、第二ベッチ数 b₂ の正確な条件は何か？
• RQ2 b₂ ≥ 2 を満たす形式的サッカーエインシュタイン多様体は存在しうるか？ もしあるならば、それらは3-サッカーシアン構造をもつのか？
• RQ3 マッセイ積は、7次元におけるサッカーエインシュタイン構造と3-サッカーシアン構造を区別する位相的不変量としてどのように機能するか？
• RQ4 ℂP³ に k 点をブLOWアップした多様体のコホモロジーは、b₂ ≥ 2 を満たす形式的サッカーエインシュタイン多様体の構成において、どのように役立つか？

主な発見

• 単連結なコンパクトな7次元3-サッカーシアン多様体は、第二ベッチ数が b₂ ≤ 1 を満たすときかつそのときに限り形式的である。
• ℂP³ に4点をブLOWアップした多様体上のS¹バンドルの全空間として、b₂ = 4 を満たす7次元単連結コンパクトなサッカーエインシュタイン多様体の明示的例が構成された。
• この例は、cohomological relations ai·aj = 0 (i≠j) および d(x·ai) = −a²i により、すべての三重マッセイ積が消えるため形式的である。
• この多様体の形式的性は、3-サッカーシアン構造が存在しないことを示しており、なぜなら3-サッカーシアン多様体は b₂ ≤ 1 を満たさねばならないからである。
• k ≥ 2 のとき、ℂP³ にk点をブLOWアップした多様体上のS¹バンドルの全空間で、Euler類が ℓb − Σai（ℓ が大きい）であるものは、形式的で、単連結で、コンパクトなサッカーシアン多様体であり、b₂ = k を満たす。
• k > 4 のとき、基底多様体はKähler-Einstein計量をもつとは知られていないが、全空間はサッカーシアンであり、形式的であるため、3-サッカーシアンではない。