[論文レビュー] Formality of Chain Operad of Small Squares

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Sep 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、小正方形のチェーン複体の形式的性質を、特定の小正方形オペラッドの特異的チェーン複体とGerstenhaber代数を制御するホモロジー・オペラッド $e_2$ 間の quasi-isomorphism を構成することによって証明する。証明は、形式的冪級数の代数におけるアソシエータの存在に依拠し、括弧付きブレードのオペラッドとその関連チェーン複体を用いて、Gerstenhaberオペラッドへの quasi-isomorphism を確立する。

ABSTRACT

We prove that the chain operad of small squares is formal. This fact clarifies situation with the proof of M. Kontsevich formality theorem in the paper of the author math.QA/9803025, revised Sept 24. The formality of the operad follows quite easily from the existence of an associator.

研究の動機と目的

• Hochschildコホモロジーのホモトピー構造を理解する上で鍵となる、小正方形のチェーンオペラッドの形式的性質を確立すること。
• 任意の小正方形オペラッドの特異的チェーンオペラッドが、Gerstenhaber代数を制御するオペラッド $e_2$ と quasi-isomorphic であることを示すこと。
• 括弧付きブレードのオペラッドの文脈におけるアソシエータの存在から、形式的性質の結果が導かれることを示すこと。
• 形式的性質とホモトピーGerstenhaber構造の文脈において、$B_ u$-オペラッドおよびその関連チェーン複体の役割を明確にすること。
• Kontsevich が指摘したように、同じ基本写像を用いて形式的性質の結果をコホモロジーのレベルにまで拡張すること。

提案手法

• パラメータ付きブレードのオペラッド $PaB_n$ を、そのネ载体が位相的 $B_ u$-オペラッドを与える圏として構成する。
• ネイチャー関手と幾何的実現関手を用いて、セルラーベースの $B_ u$-オペラッド $X_n = |NPaB_n|$ を構築し、これが小正方形オペラッドであることが示される。
• $PaB_n$ のネイチャーの特異的チェーンを用いてチェーンオペラッド $C_\bullet(PaB_\bullet)$ を定義し、Eilenberg-Zilber写像により dg-オペラッド構造を誘導する。
• 非可換変数 $t_{ij}$ における形式的冪級数の代数 $A^{pb}_3$ 内に、五角形および六角形の公理を満たすアソシエータ $\theta$ を定義する。
• アソシエータを用いて、オペラッドの準同型 $\phi: \mathbb{Q}(PaB_\bullet) \to O_A(\bullet)$ を定義し、チェーン複体への写像を誘導する。
• 帰納法と Serre-Hochschild 譜系を用いて、チェーンオペラッド $C_\bullet(PaB_\bullet)$ のホモロジーが $e_2$ と同型であることを示し、その写像がホモロジーで同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小正方形のチェーンオペラッドは形式的であるか、すなわちそのホモロジー・オペラッド $e_2$ と quasi-isomorphic であるか？
• RQ2 括弧付きブレードの文脈におけるアソシエータの存在を用いて、小正方形オペラッドの形式的性質を確立できるか？
• RQ3 括弧付きブレードのオペラッドとその関連チェーン複体の構成が、$e_2$ への quasi-isomorphism を与えるか？
• RQ4 Kontsevich が示唆したように、形式的性質の結果をコホモロジーのレベルにまで拡張できるか？
• RQ5 生成元 $t_{ij}$ からなるリー代数 $\mathfrak{g}_n$ のホモロジーは、小正方形オペラッドのホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• チェーンオペラッド $C_\bullet(PaB_\bullet)$ は、Gerstenhaber代数を制御するオペラッド $e_2$ と quasi-isomorphic である。
• アソシエータ $A^{pb}_3$ 内の存在から、小正方形のチェーンオペラッドの形式的性質が導かれる。このアソシエータは、オペラッド間の quasi-isomorphism を誘導する。
• リー代数 $\mathfrak{g}_n$ のホモロジーは $H_\bullet(C_\bullet^\mathbb{Q}(U\mathfrak{g}_n))$ と同型であり、これは有限次元的かつ $H_\bullet(\mathfrak{g}_2)$ によって生成される。
• Serre-Hochschild 譜系は $E^2$ で収束し、$H_\bullet(\mathfrak{g}_n) \cong H_\bullet(\mathfrak{g}_{n-1}) \oplus \bigoplus_{k=1}^{n-1} H_\bullet(\mathfrak{g}_{n-1})[-1]$ を満たす。
• $H_\bullet(\mathfrak{g}_n)$ の全次元は $n!$ であり、これは $e_2(n)$ の次元と一致する。このことは、quasi-isomorphism がホモロジーで全単射であることを示唆する。
• アソシエータによって誘導される写像 $\phi: \mathbb{Q}(PaB_\bullet) \to O_A(\bullet)$ は、ホモロジーで同型を誘導するため、オペラッドとしての quasi-isomorphism である。$e_2$ は $e_2(2)$ によって生成されるため、この性質が成り立つ。