[論文レビュー] Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence

Christoph Benzmüller, Bruno Woltzenlogel Paleo|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用数 23

ひとこと要約

本論文は、高階論理定理証明器を用いてダン・スコットが提示したゴーデルの神存在の目的的証明の形式的・機械的・自動的検証を提示する。この検証により、証明が一貫性があり妥当であることが示され、LEO-II、Satallax、Coq、Isabelle/HOLといったツールを用いて、モーダル論理KBが証明に十分であることが判明した。S5は不要であり、本質の定義において重要な連言成分が省かれた場合に深刻な不整合が生じることが特定された。

ABSTRACT

Gödel's ontological proof has been analysed for the first-time with an unprecedent degree of detail and formality with the help of higher-order theorem provers. The following has been done (and in this order): A detailed natural deduction proof. A formalization of the axioms, definitions and theorems in the TPTP THF syntax. Automatic verification of the consistency of the axioms and definitions with Nitpick. Automatic demonstration of the theorems with the provers LEO-II and Satallax. A step-by-step formalization using the Coq proof assistant. A formalization using the Isabelle proof assistant, where the theorems (and some additional lemmata) have been automated with Sledgehammer and Metis.

研究の動機と目的

• 計算論理ツールを用いてゴーデルの神存在の目的的証明を形式的に検証すること。
• スコット版証明における公理および定義の論理的依存関係と最小限の要件を調査すること。
• 特に本質の定義に関して、元の定式化における不整合を特定し、解消すること。
• 自動的およびインタラクティブな定理証明ツールが、形而上学的推論に実際に有効に使えることを示すこと。
• コンピュータが複雑な哲学的議論を検証するのを支援するリービニッツの「カルクレーモス」のビジヨンを支援すること。

提案手法

• TPTP THF構文を用いて、スコット版ゴーデル証明の公理、定義、定理を高階論理で形式化すること。
• LEO-IIおよびSatallaxといった自動定理証明器を用いて、論理的定理を段階的に検証すること。
• CoqおよびIsabelle/HOLの証明支援ツールを用いて、詳細なインタラクティブな形式化と検証を行うこと。
• Nitpick反例モデル探索ツールを用いて、公理および定義の一貫性をテストすること。
• ヘンキン意味論を用いて、量化されたモーダル論理を古典的高階論理に埋め込むことで、計算的推論を可能にすること。
• Isabelle/HOLにおけるSledgehammerおよびMetisを用いて、定理および補題の証明を自動化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコット版ゴーデルの目的的証明が高階論理で形式化された場合、論理的に一貫性があるか？
• RQ2 この枠組みにおいて神の存在を証明するために必要な最小限のモーダル論理は何か？
• RQ3 定義の変更、特に本質の定義における連言成分の省略が、システムの一貫性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 自動的およびインタラクティブな定理証明ツールは、複雑な形而上学的議論の検証に実際に有効に使えるか？
• RQ5 公理A1の双方向性が、T2のような主要定理の導出に果たす役割は何か？

主な発見

• 基本的なモーダル論理Kが、最初の3つの定理（T1、C1、T2）の証明に十分であることが判明した。S5が必要であるという仮定とは対照的である。
• 最終定理T3の証明においても、モーダル論理S5は不要であり、より弱い論理KBで十分である。
• 定義D2において連言成分φ(x)を省略すると、システムに不整合が生じる。これは、元の定式化における深刻な見落としを示している。
• 公理A1の逆方向はT1の証明には不要であるが、T2の導出には不可欠である。これは、証明構造におけるA1の重要性を示している。
• 形式化プロセスにより、神的であること（G）は正の性質（P(G)）であり、必然的存在（NE）も正の性質（P(NE)）であることが判明した。両者とも証明において極めて重要である。
• LEO-II、Satallax、Coq、Isabelle/HOLといった複数のツールを用いて、証明全体が正常に検証された。形式化の堅牢性が確認された。