[論文レビュー] Formalizing Equivalences Without Tears

Bezem, Marc, Coquand, Thierry+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Algebra and Logic被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Agdaを用いた構成的型理論と明示的なユニバースレベル、および排中律や選択公理などの古典的公理の一貫的使用を強調しながら、代数的型理論に基づく同値型の数学的基礎を形式的に入門する。同値型数学—ここで等価性は同一性型と同型の間の同値性として構造を保存する—は、Agdaが論理的正しさを保証し、ホモトピー型理論や立方体型理論への次なるステップを可能にする構成的かつ形式的に行えることが示されている。

ABSTRACT

The aim of this paper is to refine and extend proposals by Sozeau and Tabareau and by Voevodsky for universe polymorphism in type theory. In those systems judgments can depend on explicit constraints between universe levels. We here present a system where we also have products indexed by universe levels and by constraints. Our theory has judgments for internal universe levels, built up from level variables by a successor operation and a binary supremum operation, and also judgments for equality of universe levels.

研究の動機と目的

• Agdaを証明支援ツールとして用いて、同値型の数学的基礎への実用的かつ形式的な入門を提供すること。
• 同値型数学が、同値性公理を仮定する前でさえも、Martin-Löf型理論の枠組み内で構成的に展開可能であることを示すこと。
• 排中律や選択公理のような古典的公理が、同値型型理論において一貫して仮定可能であり、計算的解釈を損なわないことを明確にすること。
• 同一性型の構造のおかげで、同型や同値性といった同値関係における数学的性質の自動的不変性を強調すること。
• 立方体型理論および立方体Agdaの今後の研究の土台を、検証済みかつ文書化されたAgda形式で基礎的概念を導入すること。

提案手法

• Martin-Löf型理論に基づく依存型付き、構成的設定において、Agdaを用いて数学的定義、構成、定理、証明を形式化すること。
• サイズの違いを管理し、カテゴリーやモノイドのような大きな型をサポートするために、明示的なユニバースレベルを用いること。
• 同一性型を原始的な等価性の概念として定義し、2つの対象がどのように等価であるかを表すすべての方法を集めるものとし、真偽値とは異なるものとする。
• Voevodskyの定義を用いて、すべての型レベルで一貫して型同値性を定義し、これは高階グロイドへの同型の一般化である。
• 同値性公理を適用して、型同値性と同一性型を等しくする。これにより、同値な型は同一性型の意味で等しくなる。
• 性質（指定なしの存在）とデータ（指定された存在）の区別を可能にするために、サブシングレット切断を用いる。これにより、全射関数や像の定義が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同値型の基礎は、明示的なユニバースレベルを備えたMartin-Löf型理論に基づいて、Agdaでどのように形式化できるか？
• RQ2 同値性公理は、型同値性を同一性型と同等にする役割を果たすが、これは数学における等価性の取り扱いにどのように影響を与えるか？
• RQ3 排中律や選択公理といった古典的原則は、同値型型理論において一貫して仮定可能か？ また、それらの仮定がその構成的性質を損なわないか？
• RQ4 同値型型理論における同一性型は、モノイドの同型やカテゴリの同値性といった同値関係における性質の自動的不変性をどのように保証するか？
• RQ5 同値型数学における性質と構造の区別は、どのような意味を持ち、サブシングレット切断を用いてどのように形式化されるか？

主な発見

• 同値型型理論における同一性型は、すべての型に対して正しい等価性の概念を自動的に捉えている：自然数のような集合では真偽値となり、モノイドでは同型の型となり、カテゴリでは同値の型となる。
• 同値型の基礎には新しい型理論を必要としない。Martin-Löf型理論に同値性公理を追加することで拡張され、型同値性と同一性型が等しくなる。
• 排中律や選択公理のような古典的公理は、同値型数学において一貫して仮定可能であるが、計算的解釈を損なう。それらの同値型における定式化は、古典的定式化とは異なる。
• 性質と構造の区別はサブシングレット切断によって形式化され、選択公理を仮定しないままに全射や像の正確な定義が可能になる。
• この論文は、同値性公理を仮定する前でさえも、同値型数学の重要な側面—たとえば、同値関係における性質の自動的不変性—がAgda上で構成的に展開可能であることを示している。
• Agdaにおける形式的展開は論理的正しさを保証し、立方体型理論および立方体Agdaの今後の探求の検証済み基盤を提供する。