[論文レビュー] Forman-Ricci Curvature for Hypergraphs

Wilmer Leal, Guillermo Restrepo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Bioinformatics and Genomic Networks被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有向および無向ハイパーグラフに対するフォーマン・リッチィ曲率を導入し、2次元関係を超えた高次相互作用へのグラフベースの曲率の一般化を実現する。この曲率は、ハイパーエッジのサイズと頂点のハイパーエッジ内参加度のトレードオフを定量化し、Wikipediaの投票ネットワークやE. coli代謝ネットワークのようなネットワークにおける構造的役割を明らかにする。ここでは、曲率がボトルネックや冗長反応を特定する。

ABSTRACT

In contrast to graph-based models for complex networks, hypergraphs are more general structures going beyond binary relations of graphs. For graphs, statistics gauging different aspects of their structures have been devised and there is undergoing research for devising them for hypergraphs. Forman-Ricci curvature is a statistics for graphs, which is based on Riemannian geometry, and that stresses the relational character of vertices in a network through the analysis of edges rather than vertices. In spite of the different applications of this curvature, it has not yet been formulated for hypergraphs. Here we devise the Forman-Ricci curvature for directed and undirected hypergraphs, where the curvature for graphs is a particular case. We report its upper and lower bounds and the respective bounds for the graph case. The curvature quantifies the trade-off between hyperedge(arc) size and the degree of participation of hyperedge(arc) vertices in other hyperedges(arcs). We calculated the curvature for two large networks: Wikipedia vote network and \emph{Escherichia coli} metabolic network. In the first case the curvature is ruled by hyperedge size, while in the second by hyperedge degree. We found that the number of users involved in Wikipedia elections goes hand-in-hand with the participation of experienced users. The curvature values of the metabolic network allowed detecting redundant and bottle neck reactions. It is found that ADP phosphorilation is the metabolic bottle neck reaction but that the reverse reaction is not that central for the metabolism.

研究の動機と目的

• グラフからハイパーグラフへのフォーマン・リッチィ曲率の拡張を図り、2項関係を超えた高次相互作用の解析を可能にする。
• ハイパーエッジのサイズと複数のハイパーエッジにおける頂点参加度の相互作用を捉える曲率測度を定義する。
• 実世界のネットワークに曲率を適用し、ボトルネックや冗長な構成要素といった構造的特徴を明らかにする。
• 社会的・生物学的ネットワークにおける機能的重要性と曲率値が相関することを示す。

提案手法

• グラフベースのフォーマンの公式の一般化を用いて、ハイパーエッジのフォーマン・リッチィ曲率を導出。ハイパーエッジのサイズと、ハイパーエッジ内での頂点次数を統合する。
• エッジベースのリッチィ曲率概念をハイパーエッジに拡張することで、有向および無向ハイパーグラフの両方に対して曲率を定義する。
• リーマン幾何学からの正規化および符号表記を用いて、元のグラフ曲率定義と整合性を保つ。
• 大規模ネットワーク2つに曲率を適用：Wikipediaの投票ネットワークとE. coli代謝ネットワーク。すべてのハイパーエッジに対して値を計算する。
• 曲率の絶対値を用いて重要なハイパーエッジを特定。高曲率（中心的）と低曲率（冗長または周辺的）の相互作用を区別する。
• 曲率パターンの分析により、代謝ネットワークや社会的ネットワークにおける機能的役割（ボトルネックやハブ）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーマン・リッチィ曲率をグラフからハイパーグラフに一般化する方法は何か。これにより高次ネットワーク相互作用をどのように捉えることができるか。
• RQ2 実世界のネットワークにおける極端な曲率値を示すハイパーエッジの構造的役割は何か。
• RQ3 ハイパーエッジのサイズと頂点参加度の両者が、ハイパーグラフにおける曲率に与える影響を比較するとどうなるか。
• RQ4 代謝ネットワークにおける機能的ボトルネックや冗長反応を、曲率が特定できるか。
• RQ5 Wikipediaの選挙のような社会的ネットワークにおける曲率は、ユーザー体験や参加ダイナミクスをどの程度反映しているか。

主な発見

• Wikipediaの投票ネットワークでは、曲率は主にハイパーエッジのサイズによって支配されており、より高い曲率は経験豊富なユーザーが関与する選挙に関連している。
• E. coli代謝ネットワークでは、曲率がハイパーエッジの次数に支配されており、ADPリン酸化反応が主要なボトルネック反応として特定された。
• ADPリン酸化反応の逆反応は、代謝フローにおいて重要でないことが判明し、中心的ではないことが示された。
• 最も負の曲率値を示すハイパーエッジ（PTRCおよびPRO経路に属するもの）は、ネットワーク全体において構造的に中心的であると特定された。
• 代謝ネットワークのハイパーエッジの曲率値は-1155から-4の範囲に分布しており、最も負の値は高い構造的中心性を示している。
• 本手法は、冗長反応（低曲率）と重要な反応（極めて負の曲率）の両方を効果的に同定でき、システム生物学への応用価値を示した。