[論文レビュー] Formation of shocks for 2D isentropic compressible Euler

Tristan Buckmaster, Steve Shkoller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 39被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$\gamma > 1$ である2次元断熱圧縮性Euler方程式に対して、$\mathcal{O}(1)$ の振幅と $-1/\varepsilon$ の最小勾配を持つ初期データから、$\mathcal{O}(\varepsilon)$ の時間スケールで衝撃波が形成される滑らかで有限エネルギーの解を構成する。自己相似変換と変換された変数を用いて、$C^{1/3}$ ホルダー連続性を示すくさび型衝撃波と非自明な渦度の存在を証明し、非有勢流への摂動を避けるために、純粋な方位角波動のダイナミクスに焦点を当てる。

ABSTRACT

We consider the 2D isentropic compressible Euler equations, with pressure law $p(ρ) = (\sfrac{1}γ) ρ^γ$, with $γ>1$. We provide an elementary constructive proof of shock formation from smooth initial datum of finite energy, with no vacuum regions, and with {nontrivial vorticity}. We prove that for initial data which has minimum slope $- {\sfrac{1}{ \eps}}$, for $ \eps>0$ taken sufficiently small relative to the $\OO(1)$ amplitude, there exist smooth solutions to the Euler equations which form a shock in time $\OO(\eps)$. The blowup time and location can be explicitly computed and solutions at the blowup time are of cusp-type, with Hölder $C^ {\sfrac{1}{3}}$ regularity. Our objective is the construction of solutions with inherent $\OO(1)$ vorticity at the shock. As such, rather than perturbing from an irrotational regime, we instead construct solutions with dynamics dominated by purely azimuthal wave motion. We consider homogenous solutions to the Euler equations and use Riemann-type variables to obtain a system of forced transport equations. Using a transformation to modulated self-similar variables and pointwise estimates for the ensuing system of transport equations, we show the global stability, in self-similar time, of a smooth blowup profile.

研究の動機と目的

• 初期データの振幅が $\mathcal{O}(1)$ で最小勾配が $-1/\varepsilon$ である滑らかな初期データを構成し、それが有限時間内で衝撃波を形成することを示すこと。
• 非自明な渦度を有する2次元断熱圧縮性Euler方程式において、非有勢流への小刻みな摂動を避けて衝撃波形成を示すこと。
• 純粋に方位角波動運動に支配される解に対して、爆発時間 $T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$ とその位置を明示的に計算すること。
• 変換された自己相似変数と点ごとの推定を用いて、自己相似時間における滑らかな爆発プロファイルのグローバル安定性を確立すること。
• 爆発時刻 $t = T_*$ における衝撃波のプロファイルが、$C^{1/3}$ 正則性を示すくさび型であることを特徴づけること、すなわち $\mathcal{O}(1)$ の渦度が存在しても同様に成り立つこと。

提案手法

• Euler方程式の同次解を用いて、波動の方位角成分に支配されるダイナミクスに還元すること。
• 爆発位置、時間、振幅の動的追跡を可能にするために、変換された自己相似変数への変換を行うこと。
• 摂動された方位角波動成分に対するリーマン型変数における強制された輸送方程式系を導出すること。
• 点ごとの推定を適用して、自己相似時間における爆発プロファイルのグローバル安定性を証明すること。
• 補題A.2における減衰と強制項の枠組みを用いて、解の成長を制御し、外領域での爆発を防ぐこと。
• 自己相似変換と調節関数を用いて、爆発時間と位置を明示的に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元断熱圧縮性Euler方程式において、$\mathcal{O}(1)$ の渦度と非有勢流の初期データを有する解において、衝撃波形成を構成可能か？
• RQ2 初期勾配が $-1/\varepsilon$ で振幅が $\mathcal{O}(1)$ である解の、正確な爆発時間と位置は何か？
• RQ3 爆発時刻における衝撃波プロファイルの正則性は何か？ そして、それを明示的に特徴づけられるか？
• RQ4 調節関数を用いた自己相似枠組みは、自己相似時間において爆発プロファイルのグローバル安定性をどのように保証するか？
• RQ5 衝撃波形成の過程で、動的ダイナミクスは方位角波動に支配され続け、径方向成分は有界のままであるか？

主な発見

• 初期勾配が $-1/\varepsilon$ の解は、$T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$ の時間で衝撃波を形成し、爆発時間と位置を明示的に計算可能である。
• $t = T_*$ における衝撃波プロファイルは $C^{1/3}$ ホルダー連続性を示し、くさび型特異性を形成する。
• 衝撃点において $\mathcal{O}(1)$ の渦度を維持しており、これは非有勢流の衝撃構成とは明確に異なる。
• 自己相似時間において爆発は安定しており、変換された自己相似変換のもとでプロファイルはグローバルに安定である。
• $\gamma = 3$ の場合、ダイナミクスはバーガース方程式の基本的解析に帰着され、衝撃形成が完全に特徴づけられる。
• $T_*$ よりも前には他の特異性は形成されず、$t \to T_*$ のとき $|\nabla \rho|$ と $|\nabla u|$ は両方とも発散する。