[論文レビュー] Formes d'inertie et complexe de Koszul associés à des polynômes plurihomogènes

Azzouz Awane, Abdelouahab Chkiriba+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2002

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多重斉次多項式に関連する慣性形式およびコーサン複体を研究し、古典的な結果の剰余式およびコhomologyへの一般化を試みる。本稿では、ハーツィッツの定理の多重斉次版を確立し、コーサン–チェーチ二重複体からの局所コhomologyおよびスペクトル系列を用いて、N.H. Mcoyの定理の特別な場合を回復する。

ABSTRACT

The eThe existence of common zero of a family of polynomials has led to study of inertial forms whose homogeneous part of degree 0 constitutes the ideal resultant. The Koszul anc Cech cohomology groups play a fundamental role in this study. An analogueous of Hurwitz theorem is given and also we finds a MCoy theorem in a particular case of this study.

研究の動機と目的

• 多重斉次多項式の文脈における剰余式および慣性形式に関する古典的結果を一般化すること。
• コーサン複体の構造とその多重グレーディング付き設定におけるチェーチコホモロジーとの相互作用を調査すること。
• 零次の局所コホモロジー加群 $ H_{\frak{M}}^0(B) $ の特徴づけと、再帰的多項式分解を用いた生成元の同定。
• 慣性形式に関するハーツィッツの定理の多重斉次版を確立すること。
• 複数の変数集合に関して斉次な多項式の剰余式に関するN.H. Mcoyの定理の特別な場合を回復すること。

提案手法

• 係数環としての普遍係数の環 $ A $ を用い、$ C = A[Δ_1, \dots, \u0394_s] $ を多重斉次多項式環として定義する。
• 多重斉次多項式 $ f_1, \dots, f_r $ からコーサン複体 $ K^\bullet $ を構成し、単項式 $ \sigma_{i_1 \dots i_s} = X_{1,i_1} \cdots X_{s,i_s} $ からチェーチ複体 $ \mathcal{C}^\bullet $ を構成する。
• 二重複体 $ K^\bullet \otimes_A \mathcal{C}^\bullet $ を形成し、そのスペクトル系列 $ {}'E $ および $ {}''E $ を分析することで、コーサンコホモロジーと局所コホモロジーとの関係を確立する。
• 各変数集合に関する多項式 $ f_i $ の再帰的分解を用い、$ f_{i,l}^{(j)} $ を定義し、$ N = \sum_{j=1}^s n_j + s $ の次数の行列式 $ \mathcal{D} $ を得る。
• 行列式 $ \mathcal{D} $ が、$ j $ 番目の変数集合に関して次数 $ \delta_j - N_j $ の多重斉次慣性形式であることを証明し、$ X_{1,n_1+1}^{N_1} \cdots X_{s,n_s+1}^{N_s} \mathcal{D} $ が $ (H_{\frak{M}}^0(B))_\delta $ を生成することを示す。
• スペクトル系列の技法を用いて、$ r = N $ のとき、$ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ がランク1の自由 $ A $-加群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な慣性形式および剰余式の理論を多重斉次多項式へどのように拡張できるか。
• RQ2 コーサン複体およびチェーチ複体が、商環 $ B = C / (f_1, \dots, f_r) $ のコホモロジーを記述する上で果たす役割は何か。
• RQ3 慣性形式に関して、ハーツィッツの定理の多重斉次版を確立できるか。
• RQ4 局所コホモロジー加群 $ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ がランク1の自由 $ A $-加群となる条件は何か。
• RQ5 多重斉次多項式の再帰的分解は、最高次の局所コホモロジー加群の生成元をどのように導くか。

主な発見

• 再帰的分解の行列式 $ \mathcal{D} $ は、$ j $ 番目の変数集合に関して、次数 $ \delta_j - N_j $ の多重斉次慣性形式である。
• クラス $ \Delta = X_{1,n_1+1}^{N_1} \cdots X_{s,n_s+1}^{N_s} \mathcal{D} $ を $ (f_1, \dots, f_r) $ で割った剰余類は、$ H_{\frak{M}}^0(B) $ の $ \delta $-グレーディング成分を生成する。$ r = N $ のとき、これはランク1の自由 $ A $-加群である。
• 二重複体 $ K^\bullet \otimes_A \mathcal{C}^\bullet $ に関連するスペクトル系列は、コーサンコホモロジーと局所コホモロジーとの間の同型を与える。
• 慣性形式の構造と多項式環の多重グレーディング構造を結びつける、多重斉次版のハーツィッツの定理が確立された。
• $ r = N $ の場合、構成により、複数の変数集合に関して斉次な多項式の剰余式に関するN.H. Mcoyの定理の特別な場合が回復された。
• 条件 $ r = N $ の下で、零次の局所コホモロジー加群 $ H_{\frak{M}}^0(B)_\delta $ が $ A $ に同型であり、生成元として $ \Delta $ を持つことが示された。