[論文レビュー] Formulas for Lagrangian and orthogonal degeneracy loci; the Q-polynomials approach

Piotr Pragacz, Jan Ratajski|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1996

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Q多項式を用いてラグランジュ型および直交型退化局所の明示的公式を導出し、以前のシュール多項式に関する研究を一般化する。トートロジカルバンドルおよびフラッグS多項式のQ多項式における二次的表現を提供し、特に与えられた次元を超える2つの最大自己正規化部分束の交わりの局所に対して、非常に洗練された、コン pact でグローバルな公式が得られる。これはJ.ハリスが提起した問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let V be a vector bundle on a scheme X endowed with a nondegenerate symplectic or orthogonal form. Let G be a Grassmannian bundle parametrizing maximal isotropic subbundles of V. The main goal of the paper is to give formulas for the classes of the loci in G parametrizing those subbundles which intersect successive members of of a fixed flag of isotropic subbundles of V in dimensions greater than 1,2,3,... . The formulas which we give are quadratic expressions in Q-polynomials of the tautological bundle on G and flag S-polynomials of the members of the flag. These formulas globalize to Lagrangian and orthogonal degeneracy loci. They have especially nice form for the loci of points in X where two maximal isotropic subbundles intersect in dimension exceeding a given number. (A problem for finding formulas for these loci was posed by J. Harris several years ago.) In this case, our formulas are simple quadratic expressions of Q-polynomials applied to E and F. The work generalizes formulas given in [P.Pragacz, Algebro- geometric applications of Schur S- and Q-polynomials, SLN 1478 (1991), 130-191]. One of its applications is computation of the classes of Brill-Noether loci in Pryms in [De Concini, P. Pragacz, On the class of Brill-Noether loci for Prym varieties, Math. Ann. 302 (1995), 687-697].

研究の動機と目的

• 退化局所のシュール多項式の公式をシンプレクティックおよび直交的設定に一般化すること。
• J.ハリスが提起した、最大自己正規化部分束の交わりの局所のクラスを計算するという長年の未解決問題に取り組むこと。
• 自己正規化部分束をパラメトライズするグラスマンバンドルにおける退化局所のグローバルで閉形式の公式を提供すること。
• Q多項式の技法を代数幾何学におけるラグランジュ型および直交型退化局所にまで拡張すること。
• 開発された形式的枠組みを用いて、特にブリル・ノイター局所のプリム多様体におけるクラスの計算を可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、最大自己正規化部分束のグラスマンバンドル上のトートロジカルバンドルに関連するQ多項式を用いる。
• 退化局所のクラスを、固定されたフラッグ内の自己正規化部分束のS多項式とQ多項式の二次的組み合わせとして表現する。
• この手法は、非退化形式を備えたシンプレクティックおよび直交ベクトル束の構造に依拠している。
• 以前のS多項式からの結果を、退化局所の文脈においてQ多項式へと一般化する。
• 局所座標を避けるグローバルなアプローチであり、基底スキームX全体に一様に適用可能である。
• 形式的枠組みはプリム多様体におけるクラスの計算に応用され、実用的価値を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックまたは直交束において、与えられたしきい値を超える次元で交わる最大自己正規化部分束の退化局所のコホロロジークラスをどのように計算できるか。
• RQ2 固定された自己正規化部分束のフラッグと指定された次元で交わる自己正規化部分束の局所のグローバルな公式は何か。
• RQ3 Q多項式は、シュール多項式理論におけるそれらの使用と類似した、ラグランジュ型および直交型退化局所の統一的で簡潔な枠組みを提供できるか。
• RQ4 直交およびラグランジュ的設定における退化局所の公式は、一般線形ケースのそれらとどのように比較できるか。
• RQ5 これらの公式は、プリム多様体のブリル・ノイター局所におけるクラスの計算にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 本稿は、最大自己正規化部分束のグラスマンバンドルにおける退化局所に対して、Q多項式の二次的表現を用いた明示的でグローバルな公式を提供する。
• 2つの最大自己正規化部分束が次元kを超えて交わる局所に関して、その公式は2つのバンドルに適用されたQ多項式の単純な二次的表現である。
• 従来のシュールS多項式に基づく結果をQ多項式の枠組みへ一般化し、より広範かつ洗練された表現が得られる。
• J.ハリスが提起した、このような局所クラスの計算に関する問題を、この手法が効果的に解決している。
• 形式的枠組みにより、特にMath. Ann. 302 (1995) での応用例を通じて、プリム多様体のブリル・ノイター局所におけるクラスの計算が可能になった。
• このアプローチは、シンプレクティックおよび直交的設定において、計算可能で幾何学的に意味のあるコン pact な閉形式の表現をもたらす。