[論文レビュー] Formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic Maass forms

Claudia Alfes‐Neumann|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

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ひとこと要約

本稿は、Bruinier-FunkeおよびBruinier-Onoのtheta上昇作用素を、すべての半整数重の調和マース形式へと拡張し、CM値のトレースおよびねじれたトレースを用いてフーリエ係数の明示的公式を提供する。重み $k$ と $2-k$ 間の双対性を確立することで、すべての半整数重を一様に取り扱い、重み $1/2-k$（$k$ が奇数のとき）における上昇作用素の非正則部分が、上昇関数の特別な $L$-値の消失と関連付ける。

ABSTRACT

Recently, Bruinier and Ono proved that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic weak Maaß forms are given as "traces" of singular moduli for harmonic weak Maaß forms. Here, we prove that similar results hold for the coefficients of harmonic weak Maaß forms of weight $3/2+k$, $k$ even, and weight $1/2-k$, $k$ odd, by extending the theta lift of Bruinier-Funke and Bruinier-Ono. Moreover, we generalize their result to include extit{twisted} traces of singular moduli using earlier work of the author and Ehlen. Employing a duality result between weight $k$ and $2-k$, we are able to cover all half-integral weights. We also show that the non-holomorphic part of the theta lift in weight $1/2-k$, $k$ odd, is connected to the vanishing of the special value of the $L$-function of a certain derivative of the lifted function.

研究の動機と目的

• Bruinier-FunkeおよびBruinier-Onoのtheta上昇作用素を、$3/2+k$ および $1/2-k$ の重みにおけるすべての半整数重、偶数および奇数 $k$ に一般化すること。
• 以前のねじれたBruinier-Funke上昇作用素に関する研究を活用し、特異モジュラー形式のねじれたトレースを含む理論を拡張すること。
• すべての半整数重を一様に取り扱えるように、重み $k$ と $2-k$ 間の双対性を確立すること。
• 重み $1/2-k$（$k$ が奇数）におけるtheta上昇作用素の非正則部分が、上昇関数の特別な $L$-値の消失とどのように関連するかを明らかにすること。
• CMトレースデータを用いて、調和マース形式のフーリエ係数の明示的公式を提供し、特にモック・シータ関数および分割関数への応用を含む。

提案手法

• 本稿は、高次の半整数重に一般化するため、ねじれたKudla-Millsonのthetaカーネルを構成する。
• 重みを $-2k$ から $3/2+k$ または $1/2-k$ にシフトするために、Maaß上昇作用素および降下作用素を用いる。$k$ の偶奇に応じて重みが異なる。
• 表現 $ar{\rho}$ を持つベクトル値調和マース形式を用い、ヘーゲナー点と生成子の特徴を含む、モジュラートレース関数 $\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$ を定義する。
• 重み $k$ と $2-k$ 間の双対性を用いて、すべての半整数重をカバーする。重み $k$ の形式の双対が重み $2-k$ の形式であるという事実を活用する。
• 上昇作用素はPoincaré級数を用いて計算され、得られたモジュラー形式の主部は、ラマヌジャンのモック・シータ関数 $f(q)$ などの既知の形式と一致する。
• 上昇作用素の非正則部分は、特に $k$ が奇数の場合、$L$-関数の特別な値の観点から分析され、上昇関数の $L$-値の消失と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bruinier-FunkeおよびBruinier-Onoのtheta上昇作用素を、偶数および奇数 $k$ を含むすべての半整数重に一般化する方法は何か？
• RQ2 半整数重調和マース形式の係数公式において、特異モジュラー形式のねじれたトレースの役割は何か？
• RQ3 重み $k$ と $2-k$ 間の双対性が、すべての半整数重を一様に取り扱う係数公式にどのように寄与するか？
• RQ4 重み $1/2-k$（$k$ が奇数）におけるtheta上昇作用素の非正則部分と、上昇関数の特別な $L$-値との関係は何か？
• RQ5 この一般化された上昇作用素と双対性を用いて、モック・シータ関数のフーリエ係数の明示的公式を導出できるか？

主な発見

• 重み $3/2+k$（$k$ が偶数）および $1/2-k$（$k$ が奇数）の調和マース形式のフーリエ係数は、重み $-2k$ の上昇調和マース形式のCM値トレースによって与えられ、Maaß上昇作用素を用いて拡張される。
• $k$ が偶数の場合、上昇作用素の $(d,h)$-番目のフーリエ係数は、$(-4\pi d)^{k/2}$ にねじれたトレース $\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$ を掛けたものに等しく、$f$ は重み $-2k$ の形式である。
• $k$ が奇数の場合、重み $1/2-k$ におけるtheta上昇作用素の非正則部分が、上昇関数の特別な $L$-値の消失と関連していることが示された。
• ラマヌジャンのモック・シータ関数 $f(q)$ の係数 $a_f\left(\frac{|\Delta|+1}{24}\right)$ は、ねじれたトレースの線形結合として与えられる：$-\frac{1}{8i\sqrt{|\Delta|}}(\mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,1) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,5) + \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,7) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,11))$、ここで $F$ は重み 0 の弱正則モジュラー形式である。
• 上昇作用素 $\Lambda^\circ(\tau,F)$ の主部が、$G_{25}(\tau) = (q^{-25/24} + 25q^{-1/24})(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 - \mathfrak{e}_7 + \mathfrak{e}_{11})$ の主部と一致することが示され、双対性を用いて公式が確認された。
• 主部が $q^{-1}$ のPoincaré級数の上昇作用素は、主部 $2i|\Delta|^{1/2}q^{-|\Delta|/24}(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 + \mathfrak{e}_7 - \mathfrak{e}_{11})$ を持つ形式を生成し、これはモック・シータ関数 $f(q)$ の必要な成分と一致する。