[論文レビュー] Formulation of small-strain magneto-elastic problems

Tuomas Kovanen, T. Tarhasaari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Magnetic Properties and Applications被引用数 5

ひとこと要約

この論文は微小ひずみ磁弾性問題を微分幾何学を用いて定式化し、ベクトル値およびコベクトル値の微分形式を通じて弾性と磁気の間の代数的類似性を確立する。磁気的、弾性的、磁弾性的問題が統一された代数的カテゴリに含まれることを示し、ホイットニー要素を用いた有限要素法による一貫性のある離散化を可能にする。

ABSTRACT

Despite of the topical engineering need and all scientific investments, the mathematical formulation of modeling elastic deformations in magnetic systems is not yet fully established. Often, especially in electrical engineering applications, a model assuming small (infinitesimal) strains seems sufficient. To express such small-strain magneto-elastic problems in a suitable form for discretization methods, we present here a formulation in the framework of differential geometry. The given analysis shows algebraic similarity between small-strain elasticity and magnetism. This suggests that a class of magnetic, elastic, and magneto-elastic problems may be modeled in the same algebraic category, constituting suitable domain for discretizations.

研究の動機と目的

• 微分幾何学を用いて微小ひずみ磁弾性問題を数学的に厳密に定式化すること。
• 微小ひずみ弾性と磁気の間の代数的類似性を特定し、統一されたモデリングフレームワークを可能にすること。
• 特にホイットニー要素を用いた有限要素法により、磁弾性問題の一貫性のある離散化を可能にすること。
• 磁弾性エネルギー密度に基づく変分原理を用いて、磁気場と弾性場の結合を形式化すること。
• 変形した配置における幾何的に整合性のある応力と力の定義と、微小ひずみ弾性理論の整合性を検討すること。

提案手法

• 座標に依存しない多様体ベースのフレームワークを用いて、磁弾性問題を微分幾何学的に表現する。
• ベクトル値およびコベクトル値の微分形式と外微分を用いて、座標不変な方法で場の法則をモデル化する。
• 接続構造を介した共変外微分を導入し、変形配置における機械的平衡と応力バランスを扱う。
• 磁弾性エネルギー密度に基づく変分原理を用いて、磁気歪みを含む結合した物性則を定義する。
• 有限要素離散化にホイットニー要素を用い、電磁界計算における既知の成功を活用する。
• 写像 ω ↦ ω̇∧ を用いた応力表現の同型写像を確立し、±1 成分をもつ 9×9 行列によって線形同型であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小ひずみ磁弾性問題を微分幾何学を用いて一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 微小ひずみ弾性と磁気の間にはどのような代数的類似性があり、統一されたモデリングを可能にするか？
• RQ3 磁気的、弾性的、磁弾性的問題を共通の代数的カテゴリに定義できるか？これにより、共通の離散化手法が可能になるか？
• RQ4 接続構造の使用が、磁弾性系における機械的平衡と応力の定式化にどのように影響するか？
• RQ5 なぜ標準的な微小ひずみ定式化では、変形平衡配置における磁気的力と応力の一貫した測定ができないのか？

主な発見

• 定式化により、微小ひずみ弾性と磁気の間には深い代数的類似性が存在することが明らかとなり、モデリングのための共通の数学的カテゴリが示唆された。
• ベクトル値およびコベクトル値の微分形式の使用により、座標に依存しない場の法則と物性則の表現が可能になった。
• 接続を介して定義された共変外微分により、変形配置における機械的平衡の一貫性ある定式化が可能になった。
• 変分原理から導かれた磁気応力テンソルは、変形平衡状態において古典的なマクスウェル応力テンソルと一致した。
• ±1 成分をもつ対角 9×9 行列として表現される応力表現の同型写像により、応力写像の代数的整合性が確認された。
• 変形配置における力と応力の一貫性ある定式化には、幾何的に非線形な弾性理論が必要であり、現在の設定では微小ひずみ弾性理論と変形幾何の整合性を完全に達成できていない。