[論文レビュー] Formulation of the normal forms of Turing-Hopf bifurcation in reaction-diffusion systems with time delay

Weihua Jiang, Qi An+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間遅れを伴う反応拡散系におけるチューリング＝ホップ分岐について、中心多様体理論および偏関数微分方程式（PFDE）の正規形理論を用いて、明示的な3次正規形を導出する。この研究は、制限的な仮定（例：H5）を必要としない、ユーザーフrndlyで行列形式のフレームワークを提供し、特徴的な2次元分岐点の近傍における空間的非一様な定常状態や周期的解を含む、空間時間パターンの解析を可能にする。

ABSTRACT

The normal forms up to the third order for a Hopf-steady state bifurcation of a general system of partial functional differential equations (PFDEs) is derived based on the center manifold and normal form theory of PFDEs. This is a codimension-two degenerate bifurcation with the characteristic equation having a pair of simple purely imaginary roots and a simple zero root, and the corresponding eigenfunctions may be spatially inhomogeneous. The PFDEs are reduced to a three-dimensional system of ordinary differential equations and precise dynamics near bifurcation point can be revealed by two unfolding parameters. The normal forms are explicitly written as functions of the Fréchet derivatives up to the third orders and characteristic functions of the original PFDEs, and they are presented in a concise matrix notation, which greatly eases the applications to the original PFDEs and is convenient for computer implementation. This provides a user-friendly approach of showing the existence and stability of patterned stationary and time-periodic solutions with spatial heterogeneity when the parameters are near a Turing-Hopf bifurcation point, and it can also be applied to reaction-diffusion systems without delay and the retarded functional differential equations without diffusion.

研究の動機と目的

• 一般の偏関数微分方程式（PFDE）系における時間遅れを伴うホップ＝定常状態分岐の3次までの正規形を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 従来の手法がH5仮定に依存するという制限を克服すること。この仮定はホップ＝定常状態分岐では成立しないことがある。
• 元の系のフレシェ微分と特性関数を用いて、正規形係数の明示的で計算可能な式を提供すること。
• チューリング＝ホップ分岐点の近傍における空間的に非一様な定常状態および周期的解の存在と安定性の解析を可能にすること。
• 本フレームワークが、遺伝子発現遅れを伴う拡散的シュナーケンベルク系のような実世界のモデルに適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 分岐点の近傍で、元の無限次元のPFDE系を、中心多様体還元を用いて3次元の常微分方程式（ODE）系に簡略化する。
• 特にフェリア（2001, 2003）の枠組みを拡張することで、H5仮定を必要としない3次正規形の計算に、PFDEの正規形理論を適用する。
• 元の系の3次までのフレシェ微分と特性関数を用いて、正規形係数の明示的行列表現を導出する。
• 2次および3次形式演算子（QおよびH）の対称的多重線形性を活用し、固有関数および随伴固有関数を用いて、正規形項を体系的に計算する。
• unfoldパラメータ（例：時間遅れおよびその他の制御パラメータ）を元の系のパラメータで表現することで、抽象的な正規形と物理的・生物学的モデルを結びつける。
• ノイマン境界条件を伴う拡散的シュナーケンベルク系を用いて、手法の妥当性を検証し、パラメータ条件が非一様な定常状態および周期的解の生成をもたらす仕組みを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れを伴う反応拡散系における特徴的な2次元ホップ＝定常状態分岐の正規形を、どのように体系的に導出できるか？
• RQ2 元の系のフレシェ微分と特性関数を用いた3次正規形係数の明示的式は何か？
• RQ3 空間的に非一様な固有関数を伴う系に対しても、正規形計算が計算的に効率的かつ実装可能になるか？
• RQ4 導出された正規形を用いて、空間的に非一様な定常状態や周期的解といった非自明な空間時間パターンの存在と安定性をどのように特定できるか？
• RQ5 提案手法は、遅れ付き系に限らず、古典的反応拡散系や拡散のない関数微分方程式に対しても一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、時間遅れ付きPFDEにおけるホップ＝定常状態分岐の完全な3次正規形係数を、コンピュータ実装に適した簡潔な行列表記で導出する。
• 正規形係数は、元の系の3次までのフレシェ微分と特性関数の関数として明示的に記述されており、具体的なモデルへの直接適用が可能である。
• 本手法はH5仮定を必要とせず、これはホップ＝定常状態分岐では通常破綻する仮定であるため、従来の研究と比較して適用可能な系の範囲を広げている。
• 中心多様体上での低次元化された3次元ODE系は、分岐点近傍における完全な局所的ダイナミクスを捉えており、元の系のパラメータに遡れる2つのunfoldパラメータを有する。
• 時間遅れ付き拡散的シュナーケンベルク系では、本フレームワークにより、チューリング＝ホップ分岐点近傍で安定な空間的に非一様な定常状態および周期的解が出現する明示的なパラメータ条件が得られる。
• 本手法は一般性を有し、遅れ付きおよび遅れなしの反応拡散系、さらには拡散のない関数微分方程式に対しても適用可能であり、力学系分野における広範な応用性を示している。