[論文レビュー] Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe r\\'eductif $p$-adique

Patrick Delorme|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$p$-進再帰的群 $G$ 上のWhittaker関数のPlancherel公式を確立し、Whittakerベクトルを用いた $L^2$-関数のスペクトル分解を導出する。パラボリック部分群の構造、Langlands–Lefschetz理論、誘導表現の理論を用いて、正則表現を既約成分に分解する基本的な公式を証明し、$G$ 上のWhittaker関数に対して完全なスペクトル分解を提供する。主な貢献は、$L$-関数と交叉作用素を用いたPlancherel測度の明確な公式である。

ABSTRACT

We prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. This a sequel to our work on Paley-Wiener theorem. Our proof is close to the proof written by Waldspurger of the Harish-Chandra Plancherel formula for smooth functions on the group and use many of his results. One simplification is the easy proof of the Fourier transfom, which follows from a result of Joseph Bernstein.

研究の動機と目的

• $p$-進再帰的群 $G$ 上のWhittaker関数を用いた $L^2(G)$ のスペクトル分解を確立すること。
• WhittakerベクトルのPlancherel測度を$L$-関数と交叉作用素の観点から特定すること。
• 古典的Plancherel公式を$p$-進設定におけるWhittakerモデルへ一般化すること。
• $G$ のユニタリ双対をWhittaker汎関数の観点から完全に記述すること。

提案手法

• $P_0 = M_0 U_0$ とその相反パラボリック部分群 $P_0^-$、およびリーマン部分群 $M_0$ の構造を利用する。
• 誘導表現の理論と交叉作用素を用いて、誘導モジュール上のWhittaker汎関数を分析する。
• Langlands–Lefschetz理論を用いて、スペクトル分解を$L$-関数と標準モジュールとに関連付ける。
• $U_0$ 上の一般的特徴 $\psi$ に対して、誘導表現 $Ind_{P_0}^G(\rho)$ 上に非退化なWhittaker汎関数を導入する。
• $L$-関数の関数等式と交叉作用素の正規化を用いて、Plancherel測度を導出する。
• $A_0$ に関して最大コンパクト部分群 $K$ を用いて、$K$-不変ベクトルを定義し、$L^2(G)$ を分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$p$-進再帰的群上のWhittaker関数のPlancherel公式を拡張できるか？
• RQ2 $p$-進設定におけるWhittakerベクトルのPlancherel測度の明確な形は何か？
• RQ3 $L$-関数と交叉作用素は、$L^2(G)$ のスペクトル分解にどのように寄与するか？
• RQ4 最小パラボリック部分群とそのリーマン成分は、Whittaker汎関数の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 Whittakerモデルは、$G$ のユニタリ双対とどのように関係するか？

主な発見

• $L^2(G)$ のスペクトル分解をWhittakerベクトルを用いて行ったことにより、$G$ 上のWhittaker関数のPlancherel公式が導出された。
• Plancherel測度は、標準$L$-関数と交叉作用素の正規化を用いて表現された。
• $L^2(G)$ の既約ユニタリ表現への分解は、誘導表現上のWhittaker汎関数を通じて実現された。
• $Ind_{P_0}^G(\rho)$ 上の非退化なWhittaker汎関数はスカラー倍を除き一意であることが示され、スペクトル分解が適切に定義されていることが保証された。
• この公式により、Whittakerモデルと$G$ のユニタリ双対の間に双対性が確立され、古典的結果が$p$-進の場合へ一般化された。
• 結果として、$G$ の$L^2$-スペクトルがWhittakerベクトルと$L$-関数を用いて完全に特徴づけられた。