[論文レビュー] Forward and Backward Governing EQuations for Anomalous Diffusion Models Based on the Continuous Time Random Walk

Peter Straka|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間的・時間的依存性を持つ環境下で、連携した連続時間ランダムウォーク（CTRW）によってモデル化される異常拡散過程に対して、非局所的時間作用素を有する前向きおよび後ろ向きのコルモゴロフ方程式を導出する。CTRWのスケーリング極限の収束条件を確立し、4つの係数によって得られるダイナミクスを特徴づけることで、時間依存ポテンシャルにおける劣拡散、空間的に変化する待ち時間、およびドリフトを伴うレヴィウォークのモデル化が可能となる。

ABSTRACT

Continuous Time Random Walks (CTRWs) are jump processes with random waiting times between jumps. We study scaling limits for CTRWs where the distribution of jumps and waiting times is coupled and varies in space and time. Such processes model e.g. anomalous diffusion processes in a space- and time-dependent potential. Conditions for the process-convergence of CTRWs are given, and the limits are characterised by four coefficients. Kolmogorov forwards and backwards equations with non-local time operators are derived, and three models for anomalous diffusion are presented: i) Subdiffusion in a time-dependent potential, ii) subdiffusion with spatially varying waiting times and iii) Lévy walks with space- and time-dependent drift.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的依存性を持つジャンプおよび待ち時間分布を有する結合CTRWの弱収束の十分条件を確立すること。
• ジャンプおよび待ち時間分布の漸近的挙動から導かれる4つの巨視的係数（ドリフト、拡散、待ち時間、ポテンシャル効果）を用いて、このようなCTRWのスケーリング極限を特徴づけること。
• 異常拡散過程における確率密度関数の時間発展を記述する非局所的時間作用素を有する前向きおよび後ろ向きのコルモゴロフ方程式を導出すること。
• 時間依存ポテンシャルにおける劣拡散、空間的に変化する待ち時間を有する劣拡散、および空間的・時間的依存性を持つドリフトを有するレヴィウォークの3つの具体的なモデルに、このフレームワークを適用すること。
• 不均質で非定常な環境下における複雑な異常拡散をモデル化する統一的な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 空間的・時間的依存性を持つジャンプおよび待ち時間分布を有するCTRWのスケーリング極限を、弱収束技術を用いて形式的に導出する。
• ジャンプおよび待ち時間分布の漸近的解析を通じて、ドリフト、拡散、待ち時間、ポテンシャルの4つの極限係数を同定する。
• 確率密度関数の時間発展を記述する非局所的時間作用素を有する前向きコルモゴロフ方程式を導出する。
• 最初の通過時および最初の抜出自時統計を記述する非局所的時間作用素を有する後ろ向きコルモゴロフ方程式を導出する。
• 時間依存ポテンシャルにおける劣拡散、空間的に変化する待ち時間を有する劣拡散、および空間的・時間的依存性を持つドリフトを有するレヴィウォークの3つの異なる異常拡散モデルに、このフレームワークを適用する。
• 非局所的作用素を用いて、異常拡散に内在する記憶効果および非マルコフ的ダイナミクスを捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的・時間的依存性を持つジャンプおよび待ち時間分布を有する結合CTRWが、どのような条件下でスケーリング極限に収束するか？
• RQ2 異常拡散の文脈において、極限ダイナミクスが4つの巨視的係数によってどのように特徴づけられるか？
• RQ3 時間発展に非局所的時間作用素が関与する場合、前向きおよび後ろ向きのコルモゴロフ方程式はどのような形をとるか？
• RQ4 導出された方程式は、時間依存ポテンシャルにおける劣拡散をどのようにモデル化できるか？
• RQ5 空間的に変化する待ち時間および空間的・時間的依存性を持つドリフトは、レヴィウォークモデルの支配方程式にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、空間的・時間的依存性を持つジャンプおよび待ち時間分布を有する結合CTRWがスケーリング極限に弱収束する十分条件を確立した。
• 極限過程は、ジャンプおよび待ち時間分布の漸近的挙動から生じる4つの係数（ドリフト、拡散、待ち時間、ポテンシャル）によって完全に特徴づけられる。
• 非局所的時間作用素を有する前向きおよび後ろ向きのコルモゴロフ方程式が導出され、それらは異常拡散過程の非マルコフ的性質を反映している。
• 時間依存ポテンシャルにおける劣拡散は、支配方程式に時間依存外部力を取り入れることで、本フレームワークにより成功裏にモデル化された。
• 待ち時間分布を位置に依存させることで、空間的に変化する待ち時間に対応し、これにより空間依存の劣拡散指数が得られた。
• 空間的・時間的依存性を持つドリフトを有するレヴィウォークモデルは、非局所的時間作用素を用いて、両方の運動（力学的運動と記憶効果）を統合的に捉えることができた。