[論文レビュー] Forward and Backward time observables for quantum evolution and quantum stochastic processes-I: The time observables

Y. Strauss|ArXiv.org|Jun 2, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンのスペクトルが正の実数直線であるという条件下で、量子進化における前方および後方時間観測量として、一意な正の作用素 $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ を導入する。Sz.-Nagy–Foias理論の収縮作用素およびハーディー空間関数モデルを用い、半群分解形式論を用いてこれらの観測量を構成し、それらの一意性を証明するとともに、ハドゥック＝パルタサラシー計算における量子確率過程における時間観測量としての役割を示す。

ABSTRACT

Given a Hamiltonian $H$ on a Hilbert space $\mathcal H$ it is shown that, under the assumption that $σ(H)=σ_{ac}(H)=R^+$, there exist unique positive operators $T_F$ and $T_B$ registering the Schrödinger time evolution generated by $H$ in the forward (future) direction and backward (past) direction respectively. These operators may be considered as time observables for the quantum evolution. Moreover, it is shown that the same operators may serve as time observables in the construction of quantum stochastic differential equations and quantum stochastic processes in the framework of the Hudson-Parthasarathy quantum stochastic calculus. The basic mechanism enabling for the definition of the time observables originates from the recently developed semigroup decomposition formalism used in the description of the time evolution of resonances in quantum mechanical scattering problems.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン $\mathbf{H}$ のスペクトル $\sigma(\mathbf{H}) = \sigma_{ac}(\mathbf{H}) = \mathbb{R}^+$ を満たす条件下で、量子進化に対する一意な正の時間観測量 $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ を定義すること。
• これらの時間観測量が、ハドゥック＝パルタサラシー計算における量子確率過程の枠組みと整合することを確立すること。
• 共振力学に用いられる半群分解形式論から、時間観測量がどのように導かれるかを示すこと。
• Sz.-Nagy–Foias理論の枠組みにおける特徴関数解析を用いて、時間観測量の一意性およびスペクトル同等性を証明すること。

提案手法

• Sz.-Nagy–Foias理論に基づく $C_{\cdot 0}$ 収縮半群および強く収縮する半群の理論を応用する。
• ハーディー空間 $\mathscr{H}^+_{\mathcal{N}}(\mathbb{R})$ 上のトーピツ半群 $T_u^+(t)$ を、$\Theta_T$ が散乱行列に関連する内挿関数である不変部分空間 $\hat{\mathscr{K}} = \mathscr{H}^+_{\mathcal{N}}(\mathbb{R}) \ominus \Theta_T(\cdot)\mathscr{H}^+_{\mathcal{N}}(\mathbb{R})$ に圧縮することにより、時間観測量を構成する。
• 前方および後方半群の生成子の逆作用素として $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ を定義し、正値性および自己共役性を保証する。
• 等長拡大の関数モデルおよび特徴関数を用いて、$\mathbf{T}_F^{-1}$ と $\hat{T}_F^{-1}$ のスペクトル的性質を、相互作用作用素 $\Omega_f$ を介して関連付ける。
• 特徴関数 $\Theta_T(z)$ を用いて、$\mathbf{T}_F^{-1}$ と $\hat{T}_F^{-1}$ のスペクトル同等性を証明し、Sz.-Nagy–Foias定理（特徴関数がスペクトルを一意に決定する）に依拠する。
• 等長拡大の枠組みを用いて、時間観測作用素と半群生成子とのユニタリ同等性を確立し、量子確率過程における一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンのスペクトルが $\mathbb{R}^+$ 上に純粋に絶対連続的である場合、一意な正の時間観測量を定義することは可能か？
• RQ2 半群分解およびハーディー空間関数モデルを用いて、前方および後方時間観測量をどのように構成できるか？
• RQ3 時間観測量生成子の特徴関数の間には、どのような関係があり、それらのスペクトル同等性にどのように関与するか？
• RQ4 これらの時間観測量は、どの程度までハドゥック＝パルタサラシー量子確率的微分計算の枠組みに埋め込むことができるか？
• RQ5 相互作用作用素 $\Omega_f$ および $\Omega_f^*$ は、時間観測系間のスペクトル的および関数的性質をどのように保存するか？

主な発見

• 条件 $\sigma(\mathbf{H}) = \sigma_{ac}(\mathbf{H}) = \mathbb{R}^+$ の下で、前方および後方量子進化に対する一意な正の作用素 $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ が時間観測量として存在する。
• $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ は、トーピッツ半群をハーディー空間の不変部分空間への圧縮により得られるラクス＝フィリップス型半群の生成子の逆作用素として構成される。
• 特徴関数 $\Theta_{\mathbf{T}_F^{-1}}(z)$ および $\Theta_{\hat{T}_F^{-1}}(z)$ は、相互作用関係 $\Omega_f^*\Theta_{\hat{T}_F^{-1}}(z) = \Theta_{\mathbf{T}_F^{-1}}(z)\Omega_f^*$ を満たし、スペクトル同等性を証明する。
• Sz.-Nagy–Foias定理により、スペクトルが特徴関数によって一意に決定されるため、$\mathbf{T}_F^{-1}$ と $\hat{T}_F^{-1}$ のスペクトルは同一である。
• 時間観測量 $\mathbf{T}_F$ および $\mathbf{T}_B$ は、ハドゥック＝パルタサラシー量子確率的微分計算と整合しており、量子確率的微分方程式への応用が可能である。
• この構成は、ヒルベルト空間の収縮的ネスト構造および $C_{\cdot 0}$ 半群の等長拡大に依拠しており、量子力学的ダイナミクスにおける時間観測量の厳密な関数解析的基礎を提供する。