[論文レビュー] Forward and Inverse Uncertainty Quantification using Multilevel Monte Carlo Algorithms for an Elliptic Nonlocal Equation

Ajay Jasra, Kody J. H. Law+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ランダムパラメータを伴う楕円型非局所方程式における前向きおよび逆の不確実性量化（UQ）のためのマルチレベル・モンテカルロ（MLMC）およびマルチレベル逐次モンテカルロ（MLSMC）アルゴリズムを提案する。これらの手法が、非局所PDEのランダムカーネルパラメータとノイズのある観測値を伴う解法において、標準的なモンテカルロサンプリングと比較して大幅にコストを削減することを示している。平均二乗誤差が𝒪(ε²)である場合、計算複雑度は最適な𝒪(ε⁻²)を達成する。

ABSTRACT

This paper considers uncertainty quantification for an elliptic nonlocal equation. In particular, it is assumed that the parameters which define the kernel in the nonlocal operator are uncertain and a priori distributed according to a probability measure. It is shown that the induced probability measure on some quantities of interest arising from functionals of the solution to the equation with random inputs is well-defined; as is the posterior distribution on parameters given observations. As the elliptic nonlocal equation cannot be solved approximate posteriors are constructed. The multilevel Monte Carlo (MLMC) and multilevel sequential Monte Carlo (MLSMC) sampling algorithms are used for a priori and a posteriori estimation, respectively, of quantities of interest. These algorithms reduce the amount of work to estimate posterior expectations, for a given level of error, relative to Monte Carlo and i.i.d. sampling from the posterior at a given level of approximation of the solution of the elliptic nonlocal equation.

研究の動機と目的

• ランダムカーネルパラメータを伴う楕円型非局所方程式における前向きおよび逆の不確実性量化（UQ）を扱う。
• 解のノイズのある観測値に条件付けられたランダムなカーネルパラメータを含むベイズ的逆問題を定式化する。
• 事前分布および事後分布の下での関心の対象となる量の期待値を推定するための効率的なサンプリングアルゴリズムを開発する。
• マルチレベルサンプリング戦略を活用して、非局所モデルにおけるUQの計算コストを低減する。
• 高次元または無限次元パラメータ空間において、最適収束率およびコスト効率の理論的・数値的証拠を確立する。

提案手法

• パラメータ化されたカーネル $ B_{\lambda}(x,x') $ を用いて非局所作用素をモデル化し、パラメータ $ \lambda = (\theta, \alpha, \delta) $ に事前分布を割り当てる。
• 複数のメッシュレベル $ h_\ell = 2^{-(k+\ell)} $ で、不連続ガレルキン法を用いた有限要素法（FEM）により非局所方程式の数値解を近似する。
• マルチレベル・モンテカルロ（MLMC）フレームワークを用いて、階層間のカップルドサンプルを組み合わせることで、テレスコピング和による分散低減を実現し、事前期待値を推定する。
• 事後期待値を近似するためにマルチレベル逐次モンテカルロ（MLSMC）を用い、重要度サンプリングと再サンプリングを用いて階層間で粒子を伝搬させ、事後の集中を扱う。
• 線形要素の場合に $ \beta = 4 $ となる収束率 $ \mathcal{O}(h^{m+t}) $ を活用し、階層間での計算コストと精度のバランスを取る。
• 観測値が2点で得られ、 $ y|u \sim N(m(u), \sigma^2) $ という尤度モデルを用い、事後分布を条件づける。関心の対象となる量として $ u(0.5) $ を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムパラメータを伴う非局所楕円型PDEにおける前向きおよび逆のUQに、マルチレベルモンテカルロ手法を効果的に適用できるか？
• RQ2 非局所UQにおいて、同じ精度を達成する場合に、MLMCおよびMLSMCは標準的なi.i.d.モンテカルロサンプリングと比較してどの程度計算コストを削減できるか？
• RQ3 FEM近似の収束率は、不連続解を伴う非局所問題におけるマルチレベルサンプリングの効率にどのように影響するか？
• RQ4 尤度が小さな部分空間に集中する非局所方程式のベイズ的逆問題において、MLSMCは事後分布を効率的に扱えるか？
• RQ5 このクラスの非局所モデルにおいて、実際のところMLMCおよびMLSMC推定子の経験的収束率はどの程度か？

主な発見

• MLMCアルゴリズムは、平均二乗誤差が𝒪(ε²)である場合に、計算コストを𝒪(ε⁻²)に抑えることができ、最適レートに一致し、標準的なi.i.d.モンテカルロサンプリングを上回る性能を示す。
• MLSMCアルゴリズムも同様に、平均二乗誤差𝒪(ε²)に対して𝒪(ε⁻²)の計算コストを達成し、逆問題における事後推定の効率性を示している。
• 数値実験では、事前の収束率が $ \hat{\alpha} = 2.005 $、事後の収束率が $ \hat{\beta} = 4.271 $ と推定され、理論的レート $ \alpha = 2 $、$ \beta = 4 $ に近く、マルチレベルフレームワークの妥当性が裏付けられた。
• 不連続解およびパラメータ依存カーネルを効果的に扱い、ノードが不連続性と一致する場合でも収束が保たれる。
• 事後分布は適切に定義されており、集中しており、尤度のサポートが小さいにもかかわらず、逐次モンテカルロの有効な適用が可能である。
• 結論で述べられているように、このフレームワークは高次元、空間的に変化するパラメータ、時間依存または無限次元パラメータ空間への拡張が可能である。