[論文レビュー] Forward Arc Maximization for Hamilton Oriented Cycles and Paths in Generalizations of Tournaments

Q. Guo, G. Gutin+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

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ひとこと要約

この論文は、総における前向きアークを最大化するためのハミルトン有向サイクル/経路の一般化に関する研究で、セミコンプリート多部系および局所セミコンプリート有向グラフに対して、コストベースの特徴付けに基づく多項式時間アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Gishboliner, Krivelevich, and Michaeli (2023) conjectured the following generalization of Dirac's theorem: If the minimum degree $δ$ of an $n$-vertex oriented graph $G$ is greater or equal to $n/2$, then $G$ has a Hamilton oriented cycle with at least $δ$ forward arcs. Freschi and Lo (2024) proved this conjecture. In this paper, we study the problem of maximizing the number of forward arcs in Hamilton oriented cycles/paths in generalizations of tournaments. We obtain characterizations for the maximum number of forward arcs in semicomplete multipartite digraphs and locally semicomplete digraphs. These characterizations lead to polynomial-time algorithms. Note that the above problems are NP-hard for some other generalizations of tournaments even though the Hamilton cycle problem is polynomial-time solvable for these digraph classes.

研究の動機と目的

• Dirac型の結果を一般化し、ハミルトン有向サイクルと経路における前向きアークの最大化を目指す。
• セミコンプリート多部系有向グラフにおける前向きアークの不一致を特徴付ける。
• 対象となる有向グラフクラスに対して、最適なハミルトン構造を見つける多項式時間アルゴリズムを提供する。

提案手法

• 部集合サイズに関するHC-多数性およびHP-多数性不等式を用いてハミルトン性の存在を特徴付ける。
• 対称（0,1）有向グラフを用いて前向きアーク最大化をコスト最適化問題へ変換する。
• 対称有向グラフにおける最大コストの1-経路-サイクル因子を計算して最適なハミルトン経路を得る。
• 最大コストのサイクル因子を計算して最適なハミルトン有向サイクルを得る。多項式時間での構成を含む。
• セミコンプリート多部系および局所セミコンプリート有向グラフに関するサイクル因子とハミルトニシティの既存結果を活用してアルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HP/HC多数性条件の下で、セミコンプリート多部系有向グラフのハミルトン有向経路またはサイクルにおける前向きアークの最大数はどれくらいか。
• RQ2 対称有向グラフのコストベースのサイクル/経路因子を用いて、ポリミノル（多項式時間）でこの最大値を特徴づけ・計算できるか。
• RQ3 局所セミコンプリート有向グラフの構造は、ハミルトン有向サイクルにおける前向きアーク数の最大値にどのような影響を与えるか。
• RQ4 これらの有向グラフクラスで、前向きアークを最大化するハミルトニアン構造を見つけるためのアルゴリズム的意味はどのようになるか。

主な発見

• HP多数性不等式を満たすセミコンプリート多部系有向グラフにおいて、ハミルトン有向経路の最大前向きアーク数は対称有向グラフの1-経路-サイクル因子の最大コストに等しい。
• そのようなグラフにおけるハミルトン有向サイクルの最大前向きアーク数は対称有向グラフのサイクル因子の最大コストに等しいが、最大値がnでかつグラフがハミルトニアンでない場合には例外がある。
• 最大値と対応するハミルトン構造の両方を多項式時間で計算できる。
• 最大コストの1-経路-サイクル因子をハミルトン経路へ変換する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• グラフが強連結であればハミルトン有向サイクルの最大前向きアーク数はnとなり、強連結でなく2-connectedな基礎グラフを持つ場合は最初の強成分と最後の強成分間の距離を引いた値が最大となる。