[論文レビュー] Forward-Backward Evolution Equations and Applications

Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分離法と継続法の2つの手法を用いて、前向き・後向き進化方程式（FBEEs）の適切性を確立する。Lyapunov作用素を導入し、一様な事前推定を導出し、一般条件下で弱解の存在および一意性を保証する。応用例として、偏微分方程式（PDE）の最適制御問題が含まれる。

ABSTRACT

Well-posedness is studied for a special system of two-point boundary value problem for evolution equations which is called a forward-backward evolution equation (FBEE, for short). Two approaches are introduced: A decoupling method with some brief discussions, and a method of continuation with some substantial discussions. For the latter, we have introduced Lyapunov operators for FBEEs, whose existence leads to some uniform a priori estimates for the mild solutions of FBEEs, which will be sufficient for the well-posedness. For some special cases, Lyapunov operators are constructed. Also, from some given Lyapunov operators, the corresponding solvable FBEEs are identified.

研究の動機と目的

• 無限次元最適制御における最適性系を動機として、進化方程式の二点境界値問題、いわゆる前向き・後向き進化方程式（FBEEs）の適切性を確立すること。
• 弱解の存在および一意性を示すための2つの解析的手法、すなわち分離法と継続法を確立すること。
• 一様な事前推定を導くために不可欠な役割を果たす、Lyapunov作用素の導入とその利用。時間区間の長さやリプシッツ定数に制限がない条件での適切性の証明に不可欠である。
• 与えられたLyapunov作用素を通じて解けるFBEEsを同定し、特に線形FBEEsのような特殊ケースに対してその作用素を構成すること。
• 本理論を、放物型PDEを含む具体的な最適制御問題に適用し、一意的可解性の条件の検証を示すこと。

提案手法

• 本稿では、Lyapunov作用素を導入することで継続法を用い、FBEEの弱解に対する一様な事前推定を導出する。
• 線形FBEEsなどの特殊ケースに対してLyapunov作用素を構成し、その存在が適切性に必要な推定を保証する。
• 弱解の積分表現に依拠する：$ y(t) = e^{At}x + \int_0^t e^{A(t-s)}b(s,y(s),\psi(s))ds $ および $ \psi(t) = e^{A^*(T-t)}h(y(T)) + \int_t^T e^{A^*(s-t)}g(s,y(s),\psi(s))ds $。
• 楕円型PDE理論やFBSDEsから発展した継続法は、ホモトピー論法を用いて、解けるFBEEと一般のFBEEを結びつける。
• 分離法についても短く言及し、不変埋め込みのインスピレーションを受けて、分離場を介して系を1つの方程式に還元することを目的とする。
• 理論は放物型PDE最適制御問題に適用され、最適性系がLyapunov作用素フレームワークによって一意的可解性の条件を満たすことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間区間の長さやリプシッツ定数に依存しない一般条件下で、前向き・後向き進化方程式が一意な弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 FBEEsに対してLyapunov作用素をどのように構成できるか。また、それらが一様な事前推定を導く際に果たす役割は何か？
• RQ3 継続法はFBEEsに効果的に適用可能か。また、そのような作用素の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 Lyapunov作用素の存在と対応するFBEEの可解性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 この理論的枠組みは、放物型方程式や二次的コスト関数を持つPDEを含む具体的な最適制御問題にどのように適用できるか？

主な発見

• FBEEにLyapunov作用素が存在すれば、弱解に対する一様な事前推定が保証され、それが適切性の十分条件となる。
• 線形FBEEsでは、Lyapunov作用素を明示的に構成可能であり、ハミルトニアンの適切な凸性条件のもとで、一意的可解性が保証される。
• 放物型PDE最適制御の例では、最適性系が条件 $ \begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}\mathbb{B} + \mathbb{B}\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix} \leq 0 $ を満たしており、$ N $ が十分に大きくかつ $ \psi $ が有界であれば、一意的可解性が示される。
• ある $ \delta > 0 $ に対して $ Q_{yy}(y) \geq \|F_y(y)\|(\|G_y(\cdot)\|_\infty + \|Q_y(\cdot)\|_\infty T) + \delta $ が成り立つとき、FBEEは一意な弱解をもつことが示された。
• 継続法とLyapunov作用素を組み合わせることで、時間区間が短いことやリプシッツ定数が小さいことといった制限なしに、適切性の結果を得られる。
• 本フレームワークは、微分作用素を含む非有界な生成作用素 $ A $ に対しても適用可能であり、対称的または反対称的でない場合にも拡張可能である。