[論文レビュー] Forward-Backward Stochastic Differential Systems Associated to Navier-Stokes Equations in the Whole Space

Freddy Delbaen, Jinniao Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、全空間上での非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、前向き・後向き確率微分方程式系（FBSDE）を定式化し、レイノルズ数が小さい、もしくは2次元流れであるなどの条件下で、局所的・大域的解の存在と一意性を確立する。FBSDEを用いたナビエ＝ストークス解の確率的表現を提供し、ラグランジュ的表現および変分原理と結びつける。

ABSTRACT

A coupled forward-backward stochastic differential system (FBSDS) is formulated in spaces of fields for the incompressible Navier-Stokes equation in the whole space. It is shown to have a unique local solution, and further if either the Reynolds number is small or the dimension of the forward stochastic differential equation is equal to two, it can be shown to have a unique global solution. These results are shown with probabilistic arguments to imply the known existence and uniqueness results for the Navier-Stokes equation, and thus provide probabilistic formulas to the latter. Related results and the maximum principle are also addressed for partial differential equations (PDEs) of Burgers' type. Moreover, from truncating the time interval of the above FBSDS, approximate solution is derived for the Navier-Stokes equation by a new class of FBSDSs and their associated PDEs; our probabilistic formula is also bridged to the probabilistic Lagrangian representations for the velocity field, given by Constantin and Iyer (Commun. Pure Appl. Math. 61: 330--345, 2008) and Zhang (Probab. Theory Relat. Fields 148: 305--332, 2010) ; finally, the solution of the Navier-Stokes equation is shown to be a critical point of controlled forward-backward stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 全空間上での非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の確率的表現を、結合された前向き・後向き確率微分方程式系（FBSDE）を用いて確立すること。
• レイノルズ数が小さい、もしくは次元d=2などの条件下で、FBSDEの局所的・大域的解の存在と一意性を証明すること。
• 確率的議論を用いて、FBSDEの解を既知のナビエ＝ストークス方程式の解の存在・一意性結果と結びつけること。
• FBSDE定式化を、コントスタントインとアイヤー、およびチャンが開発した速度場の確率的ラグランジュ的表現と結びつけること。
• ナビエ＝ストークス方程式の解が、制御された前向き・後向き確率微分方程式系の臨界点として特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 後向きナビエ＝ストークス方程式のための確率的場の空間における結合FBSDEを定式化し、粒子の軌道を表す前向きSDEと、速度場および勾配場を表す後向きSDEを含む。
• ギルサノフの定理およびビズム-エリワッティ・リの公式を含む確率的議論を用いて、速度場および圧力場の表現を導出する。
• ソボレフ空間（H^m）における事前推定と時間区間における切り詰め技術を用いて、近似解を導出する。
• 伊藤の公式およびBDG不等式を用いて、L^2およびソボレフノルムにおける近似列の収束を制御する。
• ファインマン＝カックの公式および確率的表現定理を用いて、FBSDEの解とPDEの解との関係を確立する。
• 逆流れ写像および場ごとの確率的過程を介して、FBSDEとナビエ＝ストークス方程式との等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全空間上での非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を表現する前向き・後向き確率微分方程式系を構築できるか？
• RQ2 このFBSDEが一意の大域的解をもつ条件は何か？
• RQ3 FBSDE定式化は、コントスタントインとアイヤー、もしくはチャンによる既存のナビエ＝ストークス方程式の確率的表現とどのように関係するか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式の解を、制御されたFBSDE系の臨界点として特徴付けられるか？
• RQ5 FBSDEの解と速度場のラグランジュ的表現との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• FBSDEは、全空間上でのナビエ＝ストークス方程式に対して一意の局所的解をもつ。
• レイノルズ数が小さい、もしくは2次元（d=2）の条件下では、FBSDEは一意の大域的解をもつ。
• FBSDEの解は、ナビエ＝ストークス方程式の速度場の確率的公式を提供し、既知の存在・一意性結果を回復する。
• FBSDE定式化は、コントスタントインとアイヤー（2008年）およびチャン（2010年）による速度場の確率的ラグランジュ的表現と等価であることが示された。
• ナビエ＝ストークス方程式の解は、制御された前向き・後向き確率微分方程式系の臨界点として特徴付けられる。
• 近似FBSDEの収束がソボレフノルムにおいて確立され、その極限は元のFBSDEおよびしたがってナビエ＝ストークス方程式を満たす。