[論文レビュー] Forward-backward systems for expected utility maximization

Ulrich Horst|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般の効用関数（任意の負債を伴うべき乗型および指数型効用を含む）の最適投資戦略を特徴付けるための、新規の前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）フレームワークを提案する。一般の効用関数に対して、効用最大化問題を完全に結合されたFBSDE系に還元することにより、現在の資産と後向き成分の解関数の関数として、最適戦略の明示的特徴付けが可能となり、変数分離可能な古典的ケースを超えて結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we deal with the utility maximization problem with a general utility function. We derive a new approach in which we reduce the utility maximization problem with general utility to the study of a fully-coupled Forward-Backward Stochastic Differential Equation (FBSDE).

研究の動機と目的

• 指数型およびべき乗型効用関数を超える最適取引戦略の構成的特徴付けの欠如に対処すること。
• 既存のFBSDEに基づくアプローチを一般の効用関数およびヘッジ不能な負債を扱えるように拡張すること。
• 最適戦略を完全に結合された前向き・後向きSDEの解に結びつける統一的フレームワークを提供すること。
• 一般の備品を伴うべき乗型効用関数に対する最適戦略の特徴付けという未解決問題を解消すること。
• 最適戦略が二階可積分であり、FBSDEによって明示的に構成可能であるような条件を確立すること。

提案手法

• 一般の効用関数に対して、完全に結合された前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）系として効用最大化問題を定式化する。
• 一般の効用関数に対して、マーチングール最適性原理および動的計画法のヒューリスティクスを適用してFBSDE系を導出する。
• 価値関数の双対表現およびリスク許容度関数を用いて、後向き成分の生成子を効用関数およびその微分の関数として表現する。
• 初期資産が閾値 x₀ より大きい場合に、FBSDEに対する適応解の存在および一意性を確立する。
• 最適戦略 π* を前向き過程および後向き解の Z-成分の関数として特徴付ける。
• Z-過程の二階可積分性が、最適戦略の可積分性および期待効用の有限性を保証することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の効用関数に対して、指数型およびべき乗型効用の古典的ケースを超えて、最適戦略を構成的に特徴付けることは可能か？
• RQ2 FBSDEフレームワークは、べき乗型効用最大化におけるヘッジ不能な負債を扱えるように拡張可能か？
• RQ3 一般の効用関数に対して、完全に結合されたFBSDE系に対する適応解の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 最適戦略が二階可積分であり、従来の意味で許容可能であるような条件は何か？
• RQ5 FBSDEアプローチは、異なる効用クラスにおける効用最大化の取り扱いを統一的に可能にするか？

主な発見

• べき乗型効用 U(x) = x^γ/γ に対して γ ∈ (0,1) であるとき、x₀ > 0 が存在し、すべての初期資産 x > x₀ に対してFBSDE系 (5.12) は適応解 (X, Y, Z) を持つ。
• 最適戦略 π* は、i = 1, ..., d₁ に対して π*i = 1/(1−γ)(Zi + θi) で明示的に与えられる。ここで Z はFBSDEの解のZ-成分である。
• 解の ZH-成分が H²(Rd₁) に属するならば、最適戦略 π* は二階可積分であり、したがって空間 Πx において許容可能である。
• FBSDEの解により、E[(XT + H)^γ] < ∞ が保証される。これは期待効用が適切に定義されるために不可欠である。
• 本手法により、一般の負債を伴うべき乗型効用関数に対する最適戦略の構成的特徴付けが可能となり、数学的ファイナンスにおける未解決問題を解決する。
• FBSDE技術の適用範囲を、効用構造を後向き方程式のドライバに直接埋め込むことによって、古典的効用関数を超えて拡張する。