[論文レビュー] Forward Discretely Self-Similar Solutions of the MHD Equations and the Viscoelastic Navier-Stokes Equations with Damping

Chen‐Chih Lai|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、[Bradshaw & Tsai, 2017] に基づく事前評価を用いて、ガレルキン法を用いて、弱-L³ 空間における大きな初期データに対しても、磁力学動（MHD）方程式および減衰付きの粘弾性ナビエ＝ストークス方程式に対して、前向き離散的自己相似（DSS）および自己相似（SS）局所レイラ弱解の存在を確立する。主な貢献は、L³_w-ノルムが大きくてもよい初期データに対してこのような解を構成することにある。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of forward discretely self-similar solutions to the MHD equations and the viscoelastic Navier-Stokes equations with damping with large weak $L^3$ initial data. The same proving techniques are also applied to construct self-similar solutions to the MHD equations and the viscoelastic Navier-Stokes equations with damping with large weak $L^3$ initial data. This approach is based on [Z. Bradshaw and T.-P. Tsai, Ann. Henri Poincar'{e}, vol. 18, no. 3, 1095-1119, 2017].

研究の動機と目的

• 小さな初期データにとどまらず、MHD 方程式および減衰付きの粘弾性ナビエ＝ストークス方程式に対して、自己相似および離散的自己相似解の存在を拡張すること。
• 弱-L³ 空間（L³_w）における大きな初期データに対して、前向き DSS および SS 局所レイラ弱解を構成すること。
• [Bradshaw & Tsai, 2017] の枠組みを、磁気的または弾性的結合を有する MHD 及び粘弾性系に一般化すること。
• 構成された解が局所エネルギー不等式および局所レイラ解の他の条件を満たすことを確認すること。
• 自己相似性および変換された系の楕円的正則性により、解が空間的・時間的に滑らかであることを示すこと。

提案手法

• 時間依存問題を周期的 s 変数系に変換するため、自己相似変換 v(x,t) = (1/√(2t)) u(x/√(2t), s) を採用する。ただし s = log(√(2t)) である。
• 変換された変数 s における MHD 及び粘弾性系の近似解 (u, a) および (u, G) を、ガレルキン法を用いて求める。
• 解を u = W + U, a = D + A（または G = D + A）に分解する。ここで W および D は初期データから導かれる背景プロファイルである。
• 初期データの弱-L³ ノルムに依存する、推移的推定式 (2.3)–(2.5) 及び (2.21)–(2.22) を用いて、U および A に対する事前評価を確立する。
• ガレルキン系に対してブロウワーの不動点定理を適用し、一様な有界性を持つ解列を得る。
• H¹ における弱収束および L²_loc における強収束を用いて極限に移行し、H¹(R³) × H¹(R³) における解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱-L³ における大きな初期データに対して、MHD 方程式に対して前向き離散的自己相似解を構成できるか？
• RQ2 減衰付きの粘弾性ナビエ＝ストークス方程式に対して、大きな (−1)-斉次初期データに対して自己相似解を構成できるか？
• RQ3 [Bradshaw & Tsai, 2017] の事前評価を用いたガレルキン法が、磁気的または弾性的結合を有する系へと拡張可能か？
• RQ4 構成された解が局所エネルギー不等式を満たし、局所レイラ解として分類可能か？
• RQ5 解の正則性は何か？また、自己相似性は空間的・時間的滑らかさにどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、L³_w-ノルムが大きくてもよい初期データをもつ MHD 方程式に対して、前向き離散的自己相似局所レイラ弱解を構成する。
• 同様の構成により、大きな (−1)-斉次初期データをもつ減衰付きの粘弾性ナビエ＝ストークス方程式に対しても、自己相似局所レイラ解が得られる。
• 自己相似性および変換された系の楕円的正則性により、解が空間的および時間的変数において滑らかであることが示された。
• 圧力は二次項のリーマン変換を用いて定義され、3 < q ≤ 6 に対して L^{q/2} で事前評価を満たす。
• 部分積分を用いた積分により、局所エネルギー不等式が検証され、解が局所レイラ解の定義を満たすことが確認された。
• 本手法は、[Bradshaw & Tsai, 2017] からの事前評価式 (1.25) 及び (1.26) に依存しており、MHD 及び減衰付きの粘弾性系へと拡張された。