[論文レビュー] Forward Feynman-Kac type representation for semilinear nonconservative Partial Differential Equations

Anthony Le Cavil, Nadia Oudjane+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、解およびその勾配に依存する非線形の駆動項と反応項を有する非保存型半線形放物型PDEに対して、前向きのフェインマン＝カック型表現を導入する。非線形SDEを用いて解の存在および一意性を確立し、重み付き粒子系の収束を示し、バーガース＝フィッシャー方程式やHJB方程式を含む非保存型設定への確率的表現の拡張を実現する。

ABSTRACT

We propose a nonlinear forward Feynman-Kac type equation, which represents the solution of a non-conservative semilinear parabolic Partial Differential Equations (PDE). We show in particular existence and uniqueness. The solution of that type of equation can be approached via a weighted particle system.

研究の動機と目的

• 解およびその勾配に依存する反応項を有する非保存型半線形放物型PDEに対する確率的表現を非保存型に拡張すること。
• 反応拡散過程に由来する非保存項を含むPDEに対する、時系列前向きの確率的表現を構築すること。
• 時間に依存しない指数マーティンガル因子を有する時定常型前向きSDEを用いて、既存のMcKean型非線形SDEを非保存型ダイナミクスに対応可能に一般化すること。
• 保存型でない場合を含む2階非線形PDEを解くための厳密な確率的枠組みを提供すること、特に確率的制御からのHJB方程式を含む。
• 解が重み付き粒子系により近似可能であり、その収束特性を明らかにすること。

提案手法

• ドリフトおよび拡散係数が解 $ u $ に依存する、ブラウン運動によって駆動される前向き非線形SDE (1.2) を提案し、時間発展に $ \nabla u $ を含む非線形指数因子を含む。
• フェインマン＝カック型公式 (1.2) を用いて、解 $ u(t, \cdot) $ を、重み付き経験分布の期待値を含む時間変換測度の密度として定義する。
• 非線形SDEの解に伊藤の公式を適用し、PDE (1.1) を導出し、SDEの解がPDEの弱解をもたらすことを証明する。
• 時間ステップ $ \tau $ を用いた時間離散化スキーム (3.13) を採用し、遷移核 $ P(s,x_0,t,dx) $ を用いて測度 $ \mu $ の時間発展を定義し、帰納法を用いて一貫性を証明する。
• 粒子が解 $ u $ を基にした平均場型重み付けを通じて相互作用する重み付き粒子系近似を導入し、粒子数の増加に伴い真の解に収束することを示す。
• チェープマン＝コルモゴロフ方程式を用いて遷移核のマルコフ性を検証し、時間離散化スキームの一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解およびその勾配に依存する非線形反応項を有する非保存型半線形PDEに対して、前向き確率的表現を構築可能か？
• RQ2 提案された非線形SDE (1.2) は、対応するPDE (1.1) の弱解に対応する一意な解をもつだろうか？
• RQ3 非保存型PDEの解は重み付き粒子系により近似可能か？ そのようなスキームの収束特性はいかなるものか？
• RQ4 $ \Lambda $-項（$ u $ および $ \nabla u $ に依存）の導入は、保存型の場合（$ \Lambda = 0 $）と比較して、確率的表現にどのような影響を及えるか？
• RQ5 提案された枠組みは、バーガース＝フィッシャー方程式やハミルトン＝ジョルダン＝ベルマン方程式といった重要なPDEクラスに適用可能だろうか？

主な発見

• 適切な正則性および非退化性条件の下で、PDE (1.1) の解 $ u $ は、非線形SDE (1.2) の解 $ Y_t $ の確率測度の密度と等価であることが示された。
• 関数 $ \Phi $ が滑らかで、リプシッツ連続かつ非退化であり、関数 $ g $ がリプシッツ連続である条件下で、非線形SDE (1.2) の解の存在およびパスワイズ一意性が確立された。
• PDE (1.4) の弱解は、前向き方程式 (1.2) の唯一の解として特徴づけられ、解 $ u $ は指数マーティンガル因子を用いて定義される測度 $ \nu_t $ の密度である。
• 帰納法およびチェープマン＝コルモゴロフ方程式を用いて、時間離散化スキーム (3.13) が連続時間方程式 (1.2) と一貫していることが証明され、近似の収束が保証された。
• 重み付き粒子系近似は、法則収束する。収束速度は時間ステップ $ \tau $ に依存し、混沌の伝播現象が保持された。
• 本フレームワークは、バーガース＝フィッシャー方程式やHJB方程式を含む非保存型PDEへも成功裏に拡張され、古典的PDEソルバーに対する確率的代替手段を提供した。