[論文レビュー] Forward Invariance of Sets for Hybrid Dynamical Systems (Part I)

Jun Chai, Ricardo G. Sanfelice|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Extremum Seeking Control Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、状態および摂動制約を伴うハイブリッド包含としてモデル化されたハイブリッド力学系に対して、ロバストな前向き不変性条件を提案する。Zeno解や有限時間終了解を含む、すべての許容可能な摂動下でも集合が不変のままであるようにするための十分条件——流れの接ベクトルとジャンプ写像の性質に基づく——を確立し、リャプノフ型部分レベル集合やDC/ACインバーター系への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, tools to study forward invariance properties with robustness to dis- turbances, referred to as robust forward invariance, are proposed for hybrid dynamical systems modeled as hybrid inclusions. Hybrid inclusions are given in terms of dif- ferential and difference inclusions with state and disturbance constraints, for whose definition only four objects are required. The proposed robust forward invariance notions allow for the diverse type of solutions to such systems (with and without dis- turbances), including solutions that have persistent flows and jumps, that are Zeno, and that stop to exist after finite amount of (hybrid) time. Sufficient conditions for sets to enjoy such properties are presented. These conditions are given in terms of the objects defining the hybrid inclusions and the set to be rendered robust forward invariant. In addition, as special cases, these conditions are exploited to state results on nominal forward invariance for hybrid systems without disturbances. Furthermore, results that provide conditions to render the sublevel sets of Lyapunov-like functions forward invariant are established. Analysis of a controlled inverter system is presented as an application of our results. Academic examples are given throughout the paper to illustrate the main ideas.

研究の動機と目的

• 摂動を伴うハイブリッド包含に対してロバストな前向き不変性を形式化し、すべての許容可能な摂動下でも解が集合内にとどまるように保証すること。
• Zeno解、持続的流れ、有限時間終了といった複雑な解行動を伴うハイブリッドシステムにおける不変性の課題に対処すること。
• 流れマップおよびジャンプマップを含むシステムのデータに基づいて、ロバストおよびノーマルな前向き不変性の十分条件を導出すること。
• リャプノフ型関数の部分レベル集合に結果を特化し、凸性または境界における厳密な減少性により不変性の検証を可能にすること。
• 制御された単相DC/ACインバーター系の解析を通じて応用可能性を示し、MATLAB HyEQツールボックスによる数値的検証を実施すること。

提案手法

• 流れおよびジャンプ集合、流れおよびジャンプマップ、摂動制約を含む4つの主要構成要素からなるハイブリッド包含を用いて、ロバストな前向き不変性を形式化する。
• 4つの異なる不変性の概念を導入し、そのうち2つは、すべての最大解ペアが摂動下でも集合内にとどまることを要件とする。
• 接ベクトル空間への包含関係に基づく十分条件を導出：集合の境界点において、流れベクトルは内部を向く必要があり、ジャンプ写像は不変性を保つ必要がある。
• 局所リプシッツ連続性を保証するため、Assumption 4.14を適用し、不変集合の境界における流れマップの連続性を確保し、脱出を防ぐ。
• Lemma 4.12および集合値写像に関する補助的結果を用いて、特にリャプノフ型部分レベル集合の不変性条件を検証する。
• 後続の研究で制御器設計に用いるための、点単位の最小ノルム選択スキームを採用し、MATLAB HyEQツールボックスによる数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zeno解や有限時間解を含む、摂動を伴うハイブリッドシステムに対して、ロバストな前向き不変性をどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 ハイブリッド包含において、すべての許容可能な摂動下でも集合が不変のままであるように保証する十分条件は何か？
• RQ3 リャプノフ型関数の部分レベル集合が、ノーマルおよびロバストな条件下でどのように前向き不変にできるか？
• RQ4 不変集合内での最大解ペアの存在および完全性を保証する条件は何か？
• RQ5 提案された不変性条件は、電力電子インバーターのような実世界のハイブリッドシステムにどのように応用できるか？

主な発見

• 流れマップおよびジャンプマップの像が境界点における集合の接ベクトル空間に含まれる接ベクトル空間への包含関係に基づき、ロバストな前向き不変性の十分条件が確立された。
• 摂動を除外した場合、ノーマルな前向き不変性が特殊ケースとして回復され、条件は標準的な不変性基準に簡略化される。
• リャプノフ型部分レベル集合に対しては、流れマップが内部を向いている、または境界で関数が厳密に減少する場合に不変性が成立する。特に凸性がある場合には顕著である。
• 流れ中にゼロの摂動が許容される場合、不変集合内のすべての点から非自明で完全な解ペアが存在することが保証される。
• DC/ACインバーター系の数値シミュレーションにより、すべての初期条件および摂動入力下でも、閉ループ系がターゲット集合内にとどまっていることが確認された。
• 制御器設計により出力電圧が所望周波数の正弦波に類似した挙動を示し、補足資料におけるFFT解析により検証された。