[論文レビュー] Foundations for conditional probability

Ladislav Mečíř|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、確率の基礎を再定義し、条件付き確率を確率変数の上に定義された妥当な順序から導出することで、すべての整合的確率規則（ベイズの法則を含む）が自然に導かれることが示されている。主な貢献は、任意の整合的確率関数が妥当に完全な関数に拡張可能であることを証明し、P(C) = 0 のときに失敗する比の定義を回避することにある。

ABSTRACT

The main result presented in this article is that probability can fundamentally be characterized as a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. This is justified by the fact that probability is coherent as confirmed by its common formalizations, and by our result that a function is coherent if and only if it is a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. In addition to offering a different perspective on conditional probability, our use of a plausible preorder in the role of a fundamental notion extends conditional probability to cases in which the calculation of conditional probability using the P(A|C)=\frac{P(A\wedge C)}{P(C)} rule fails: if P is a coherent function, then it can be extended so that for every event A and nonzero event C holds that P(A|C)=0 if A\wedge C=0 and P(A|C)=1 if A\wedge C=C, no matter whether the unconditional probability P(C) is zero or whether it is defined.

研究の動機と目的

• 条件付き確率における基礎的限界、特にP(C) = 0 または未定義のときにP(A|C) = P(A∧C)/P(C) の比の定義が失敗することを解消すること。
• 条件付き期待値に関する恣意的な仮定を避ける、より一般かつ論理的に厳密な確率の基礎を提供すること。
• 確率を確率変数上の妥当な順序によって自然に誘導される関数として形式化し、整合性と完全性を保証すること。
• すべての標準的確率形式（コルモゴロフ、コックス、デュプリ・ティプリア）がこの枠組みに整合的かつ埋め込めることが示されること。
• 整合性が、正則な妥当な順序によって誘導される妥当に完全な関数への拡張可能性と同値であることを確立すること。

提案手法

• 確率変数を実数上の単位的、結合的、可換な代数として定義し、実数の標準埋め込みをこの代数に導入する。
• 確率変数上の妥当な順序を原始的関係として導入し、そこから条件付き順序を導出する。
• 事象を冪等元（A.A = A）として定義し、自然な順序（A ≤ B とは A ∧ B = A のとき）を用いて論理的関係を構造化する。
• C を非ゼロ事象とするペア (X, C) から拡張実数への部分関数として条件付き期待値を構成し、順序構造を用いる。
• 三つの確率形式を形式化する：コルモゴロフ的、コックス的、デュプリ・ティプリア的妥当値。それぞれが整合性と確率規則を満たす。
• 整合性が、正則な妥当な順序によって誘導される条件付き期待値への拡張可能性と同値であることを証明し、妥当に完全な関数を標準的定式化とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き確率は、無条件確率の比よりもより基本的な関係から導出可能か？
• RQ2 P(C) = 0 または未定義であっても定義可能な確率の形式化は可能か？
• RQ3 整合性、妥当な順序、および条件付き期待値の存在との論理的関係は何か？
• RQ4 すべての標準的確率形式（コルモゴロフ、コックス、デュプリ・ティプリア）は、統一された枠組みに統合可能で整合的か？
• RQ5 すべての整合的例を一般に包含する標準的定式化は存在するか？

主な発見

• ベイズの法則を含むすべての確率規則は、比の定義を仮定せず、確率変数上の妥当な順序から導出可能である。
• A ∧ C = 0 ならば条件付き確率 P(A|C) は 0 に、A ∧ C = C ならば 1 に定義され、P(C) がゼロまたは未定義であっても成立する。
• 比の定義 P(A|C) = P(A∧C)/P(C) は、P(C) = 0 のとき P(A|C) を定義できず、結果として妥当に不完全となる。
• すべての整合的関数は妥当に完全な関数に拡張可能であり、これは確率を一般にそのような関数として定式化できることを意味する。
• 整合性は、正則な妥当な順序によって誘導される条件付き期待値への拡張可能性と同値であり、統一的基盤を確立する。
• すべての標準的定式化—コルモゴロフ的、コックス的、デュプリ・ティプリア的—は整合的であり、それらの規則は提案された順序に基づく枠組みから導出可能である。