[論文レビュー] Foundations of consistent couple stress theory

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 9被引用数 18

ひとこと要約

本論文は連続体力学における一貫性のある歪対称カップル応力理論の理論的基盤を確立し、その内部的一致性、単純さ、および古典的力学との整合性を示している。変形は物質要素間の相対的移動と回転によって自然に記述され、連続的な変位および回転場が主要変数として用いられ、カップル応力テンソルの歪対称性に関する長年の曖昧さが解消される。

ABSTRACT

In this paper, we examine the recently developed skew-symmetric couple stress theory and demonstrate its inner consistency, natural simplicity and fundamental connection to classical mechanics. This hopefully will help the scientific community to overcome any ambiguity and skepticism about this theory, especially the validity of the skew-symmetric character of the couple-stress tensor. We demonstrate that in a consistent continuum mechanics, the response of infinitesimal elements of matter at each point decomposes naturally into a rigid body portion, plus the relative translation and rotation of these elements at adjacent points of the continuum. This relative translation and rotation captures the deformation in terms of stretches and curvatures, respectively. As a result, the continuous displacement field and its corresponding rotation field are the primary variables, which remarkably is in complete alignment with rigid body mechanics, thus providing a unifying basis. For further clarification, we also examine the deviatoric symmetric couple stress theory that, in turn, provides more insight on the fundamental aspects of consistent continuum mechanics.

研究の動機と目的

• 微極性弾性におけるカップル応力テンソルの歪対称性に関する長年の曖昧さと懐疑的見解を解消すること。
• 古典的力学の原則に基づいた一貫性があり、根本的な枠組みをカップル応力理論に確立すること。
• 物質要素間の相対的移動と回転が、伸びおよび曲率の観点から変形を自然に記述することを示すこと。
• 変位および回転場を主要変数として扱うことで、変位と回転の記述を剛体力学と統一すること。
• 偏差対称カップル応力理論との比較を通じて、一貫性のある連続体力学の物理的および数学的基盤を明確にすること。

提案手法

• 連続体力学の第一原理から一貫性のあるカップル応力理論を導出し、線形運動量および角運動量の保存を強調する。
• 無限小物質要素間の相対運動の概念を導入し、伸びおよび曲率の観点から変形を定義する。
• 歪対称カップル応力テンソルが相対回転および相対移動の運動学から自然に導かれることが示される。
• 変分的アプローチを用いて支配方程式を導出し、エネルギーおよび運動量の法則と一貫性を保つ。
• 歪対称理論と偏差対称カップル応力理論を比較し、根本的な違いと利点を明らかにする。
• 古典的力学との整合性チェックを通じて理論を検証し、矛盾や物理的に不自然な振るまいがないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ歪対称カップル応力テンソルは連続体力学の枠組み内で物理的に一貫しているとされるのか？
• RQ2 隣接する点における物質要素間の相対運動は、どのように変形を自然に記述するのか？
• RQ3 提案されたカップル応力理論と古典的剛体力学との根本的関係は何か？
• RQ4 歪対称理論は偏差対称カップル応力形式とどのように異なり、どのように改善されているのか？
• RQ5 連続的な変位および回転場は、一貫性のある連続体力学の枠組みにおいて主要変数として機能できるか？

主な発見

• 歪対称カップル応力テンソルは、連続体力学の平衡法則と本質的に一貫しており、便宜的な仮定を必要としない。
• 変形は自然に剛体運動、相対的移動、相対的回転に分解され、後者2つが伸びおよび曲率を記述する。
• 連続的な変位および回転場が基本的な運動学的変数として出現し、理論が古典的力学と整合する。
• 理論は物理的に不自然な振るまいを避け、エネルギーおよび運動量保存則と一貫性を保つ。
• 偏差対称カップル応力理論との比較から、歪対称形式がより物理的に根拠があり、数学的に整合性のある記述を提供することが明らかになった。
• 微小回転および微小変形の一貫した取り扱いを通じて、微極性力学と古典的連続体力学の統合的基盤を提供する。