[論文レビュー] Foundations of quantum physics: a general realistic and operational approach

Diederik Aerts|ArXiv.org|May 23, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、状態、実験、確率、対称性を基本的構造として扱う、一般的で現実的な量子基礎の形式的枠組みを提案する。固有閉包構造と直交閉包構造に基づく統一的枠組みを導入し、直交補完性や原子性といった主要な量子的特徴を導出する。非射線的純状態を有する完成した量子力学を用いた新しい部分的実体の記述法を提示し、標準的なヒルベルト空間テンソル積構成における制限を解消する。

ABSTRACT

We present a general formalism with the aim of describing the situation of an entity, how it is, how it reacts to experiments, how we can make statistics with it, and how it changes under the influence of the rest of the universe. Therefore we base our formalism on the following basic notions: (1) the states of the entity; they describe the modes of being of the entity, (2) the experiments that can be performed on the entity; they describe how we act upon and collect knowledge about the entity, (3) the probabilities; they describe our repeated experiments and the statistics of these repeated experiments, (4) the symmetries; they describe the interactions of the entity with the external world without being experimented upon. Starting from these basic notions we formulate the necessary derived notions: mixed states, mixed experiments and events, an eigen closure structure describing the properties of the entity, an ortho closure structure introducing an orthocomplementation, outcome determination, experiment determination, state determination and atomicity giving rise to some of the topological separation axioms for the closures. We define the notion of sub entity in a general way and identify the morphisms of our structure. We study specific examples in detail in the light of this formalism: a classical deterministic entity and a quantum entity described by the standard quantum mechanical formalism. We present a possible solution to the problem of the description of sub entities within the standard quantum mechanical procedure using the tensor product of the Hilbert spaces, by introducing a new completed quantum mechanics in Hilbert space, were new 'pure' states are introduced, not represented by rays of the Hilbert space.

研究の動機と目的

• 状態、実験、確率、対称性を独立的で物理的に意味のある構造として扱う、一般の量子物理学形式的枠組みの構築を目的とする。
• ヒルベルト空間を便宜的に導入するのを避け、より操作的で現実的な標準量子力学の代替案を提供することを目的とする。
• 非放射的純状態を有する新しい完成した量子力学を導入することで、量子力学における部分的実体の記述問題を解決することを目的とする。
• ヒルベルト空間の公理からではなく、物理的に妥当な公理から、直交補完性や原子性といった量子構造を導出することを目的とする。
• 量子的および古典的実体を一つの形式的圏内で統一的に取り扱う基盤を築くこと、ならびに自己準同型の群表現を通じて対称性を体系的に統合することを目的とする。

提案手法

• 形式的枠組みは4つの基本的概念に基づく：状態（存在の様式）、実験（探査行動）、確率（繰り返し試行からの統計）、対称性（環境との受動的相互作用）。
• 導出された構造には、混合状態、混合実験、事象、固有閉包（性質のため）、直交閉包（閉包作用素による直交補完性の導入）が含まれる。
• 状態の決定性を新たな公理として導入し、状態と性質を区別する。部分的実体は自己準同型および状態写像を通じて定義される。
• 主要な式には、結果統計のための確率式 $<c, P_A(c)>$ と、部分的実体関係における一貫性を保証する条件 $tr(WE_k) = tr(W' E_k \otimes I_{\cal G})$ が含まれる。
• 本稿では、Pironの表現定理とSolèrの結果を用い、無限個の正規直交列を有する正規直交空間がヒルベルト空間であることを正当化し、標準的量子構造の導出を支援する。
• 純状態がヒルベルト空間内の射でない、新たな数学的対象としての非放射的純状態を導入する新しい完成した量子力学を提示し、テンソル積拡張を通じて一貫性のある部分的実体の記述を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態、実験、確率を独立的で物理的に意味のある構造として扱う方法で、量子基礎を形式化できるか？
• RQ2 ヒルベルト空間形式的枠組みを、事前に仮定するのではなく、より一般的で操作的根拠に基づく公理から導出できるか？
• RQ3 量子力学における部分的実体を記述する正しい数学的構造は何か？ そして、標準的なテンソル積構成とどのように調和させられるか？
• RQ4 自己準同型の群表現を通じて、対称性を基礎的量子形式的枠組みに体系的に統合できるか？
• RQ5 固有閉包および直交閉包といった閉包構造は、直交補完性や原子性といった主要な量子的特徴を導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 物理的原理から完全性と原子性が導出され、原子性が固有閉包構造における $T_1$ 分離性と同値であることが示された。
• 直交閉包構造は自然に直交補完性を生じさせ、あらかじめ仮定せずに量子論理の基盤を提供する。
• 本稿では「状態の決定性」を新たな本質的公理として特定し、状態と性質を区別し、より現実的な形式的枠組みを可能にする。
• 非放射的純状態を導入する新しい完成した量子力学が提案され、標準的なテンソル積による部分的実体記述の不整合を解消する。
• 条件 $tr(WE_k) = tr(W' E_k \otimes I_{\cal G})$ により、部分的実体と全体系の確率の整合性が保証され、縮約密度演算子に対して $tr(W) = 1$ が導かれる。
• 写像 $m: p_{W'} \mapsto p_W = m(p_{W'})$ は $W = \hat{m}(W')$ を通じて一意に定義され、部分的実体関係における状態の進化が明確に決定されることを示す。