[論文レビュー] Foundations of Rational Quantum Field Theory, I

Doron Gepner|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 1992

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、4つの2次元量子場の理論のクラス—有理的 conformal field theories (RCFTs)、N=2 supersymmetric な可解場の理論、可解な interaction round the face (IRF) 格子模型、および因数分解可能なソリトン系—の間で圏的同値性を確立する。RCFTの融合環をN=2理論のチャーラル環と同一視し、RCFTの braiding 行列からIRFのボルツマン重みを構成することで、すべてのこのような系を互いに写像する普遍的な枠組みを導出する。これにより、RCFTの再構成問題が格子模型を用いて解決され、ソリトン散乱振幅の統一的記述が可能となる。

ABSTRACT

We study the connection between Rational Conformal Field Theory (RCFT), $N=2$ massive supersymmetric field theory, and solvable Interaction Round the Face (IRF) lattice models. Specifically, one identifies the fusion rings with the chiral rings. The theories so obtained are conjectured, and largely shown, to be integrable. A variety of examples and the structure of the metric in moduli space are given. The kink scattering theory is given by the Boltzmann weights of an IRF model, which is built entirely in terms of the conformal data of the original RCFT. This procedure produces all solvable IRF models in terms of projection operators of the RCFT. The soliton structure and their scattering amplitudes are described. A host of new rational conformal field theories is constructed generalizing most, if not all, of the known ones.

研究の動機と目的

• 有理的 conformal field theories (RCFTs) と可解な N=2 supersymmetric な量子場の理論との間の一対一対応を確立すること。
• 可解場の理論、可解な格子模型、因数分解可能なソリトン系、および RCFTs という4つの異なる2次元量子場の理論の枠組みを、1つの圏的枠組みに統合すること。
• 長年の「再構成ファンタジー」問題を解決すること—RCFTの臨界固定点が、構築されたIRF模型から元の conformal データを回復することを示すこと。
• コンformal次元とbraiding行列を含むRCFTデータのみを用いて、可解なIRF模型とその関連するソリトン散乱振幅を普遍的に構成すること。
• IRF模型から導出されたソリトンS行列がユニタリティとクロッシング対称性を満たし、CDDの不確実性を除いて一意に定まることを示すこと。

提案手法

• RCFTの融合環とN=2超対称場の理論のチャーラル環を同一視することで、圏的同値性における最初の同型を確立する。
• RCFTの一次元的場を格子頂点に割り当て、非ゼロの融合係数 N^b_{a,α} によって許容条件を定義することで、IRF格子模型を構築する。
• ボルツマン重みをRCFTのbraiding行列の固有値への射影とし、conformal次元に依存する普遍関数でスケーリングすることで、スター・トライアングル方程式を満たすようにする。
• n回目の braid代数を用いてスペクトルパラメータを導入し、ヘッケ代数を一般化することで、可解性を保ちつつ、統一的かつ一般化された枠組みを構築する。
• ボルツマン重みからソリトン散乱S行列を導出し、ユニタリティとクロッシング対称性を普遍的因子 F(u) とモジュラーS行列のべき乗依存性によって満たすようにする。
• 整合性を確認するため、導出されたS行列が可解性に必要な因子分解条件を満たし、ソリトン内容がチャーラル環の構造と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての可解な N=2 超対称場の理論が、チャーラル環の同型を介してRCFTに対応づけられることを分類できるか？
• RQ2 RCFTデータから構築された可解なIRF格子模型が、臨界において元の conformal field theory を再現するのか、したがって再構成問題が解決されるのか？
• RQ3 ソリトン系の散乱振幅がRCFTのbraiding行列から普遍的に導出可能であり、ユニタリティとクロッシング対称性を満たすのか？
• RQ4 RCFTs、IRFモデル、ソリトン系、およびN=2場の理論の間で、融合、orbifolding、foldingなどの操作が同型写像と可換となるような圏的同値性が存在するか？
• RQ5 スペクトルパラメータはIRFモデルにおいてどのような役割を果たし、ソリトン散乱の速さ変数とどのように関係しているのか？

主な発見

• 本稿は、conformal braiding行列をボルツマン重みの構築要素として用いることで、任意のRCFTから可解なIRF格子模型への普遍的枠組みを構築する。
• 既知のすべての三角関数的可解IRFモデルが、この枠組み内で再導出され、さらに多数の新しいモデルが得られ、この構成の普遍性が示された。
• ソリトンS行列は同じボルツマン重みから導出され、ユニタリティとクロッシング対称性を満たすことが示され、CDDの不確実性を除いて一意に定まる。
• ソリトンの内容は融合規則によって決定される：2つの真空が非ゼロの融合係数をもつ場合に限り、それらを結ぶソリトンが存在する。
• 本手法により、RCFTの再構成問題が解決された。構築されたIRFモデルの臨界固定点が、元の conformal データを回復することを示した。
• この枠組み全体は、RCFTs、N=2 SUSY QFTs、IRFモデル、およびソリトン系という4つの異なる物理系の間で圏的同値性を確立し、2次元有理的量子場の理論の統一的記述を提供する。