[論文レビュー] Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics

Ronald Fagin, Ryan Riegel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2020

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実数値論理を用いた不確実性の推論のための整合的かつ強く完全な公理的体系を提示する。これにより、神経記号的AIシステムにおける正確で数学的に根拠のある論理的推論が可能になる。パラメータ化されたフレームワークを導入し、重み付き部分論理式をサポートするとともに、主な実数値論理に対する線形計画法に基づく意思決定手順を提供し、論理的ニューラルネットワーク（LNNs）のための、初めての証明可能で整合的かつ完全な推論システムを確立する。

ABSTRACT

Real-valued logics underlie an increasing number of neuro-symbolic approaches, though typically their logical inference capabilities are characterized only qualitatively. We provide foundations for establishing the correctness and power of such systems. We give a sound and strongly complete axiomatization that can be parametrized to cover essentially every real-valued logic, including all the common fuzzy logics. Our class of sentences are very rich, and each describes a set of possible real values for a collection of formulas of the real-valued logic, including which combinations of real values are possible. Strong completeness allows us to derive exactly what information can be inferred about the combinations of real values of a collection of formulas given information about the combinations of real values of several other collections of formulas. We then extend the axiomatization to deal with weighted subformulas. Finally, we give a decision procedure based on linear programming for deciding, for certain real-valued logics and under certain natural assumptions, whether a set of our sentences logically implies another of our sentences.

研究の動機と目的

• 実数値論理における論理的推論の形式的で数学的に厳密な基盤を確立すること。実数値論理は、多くの現代の神経記号的AIシステムの基盤をなしている。
• 確率的・ファジィ的・ニューラル記号的推論において広く用いられているにもかかわらず、実数値論理における強い完全性と整合的公理的体系の欠如に取り組むこと。
• 論理的推論を重み付き部分論理式に対しても拡張し、論理的ニューラルネットワーク（LNNs）のようなシステムにおけるコンポーネントの相対的影響をモデル化すること。
• 自然な仮定の下で、実数値論理の範囲において論理的含意を決定するための線形計画法に基づく意思決定手順を提供すること。
• 連続的な真偽値をとる[0,1]における不確実性の推論の形式化における長年の空白を埋めること。

提案手法

• 二層構造の論理的フレームワークを導入する。内層は論理結合子（例：& は「かつ」、⊕ は「または」）を有する実数値論理式であり、外層はこれらの論理式の真偽値に関する古典的（0-1）文である。
• パラメータ化され、整合的かつ強く完全な公理的体系を構築し、ルカシエヴィチ、積、ゴデル論理を含む、実質的にすべての標準的実数値論理に適用可能である。
• 部分論理式に影響係数を割り当てることで、重み付き論理式への拡張を実現し、ニューラルネットワーク風の活性化関数のモデル化を可能にする。
• 連続的結合子を有する論理に適用可能な線形計画法に基づく意思決定手順を提案し、外層文の集合が他の文を論理的に含意するかどうかを判断する。
• フレームワークを用いて、LNNsのようなシステムにおける推論を形式的に検証し、初めてその論理的正しさと完全性を証明する。
• ファジィ論理および有理的パベルカ論理（RPL）の既知の結果を活用し、提案された体系の一般性と表現力の根拠を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的結合子と重み付き部分論理式を両方サポートする実数値論理に対して、整合的かつ強く完全な公理的体系を開発できるか？
• RQ2 実数値論理式に対する論理的推論をどのように形式化すれば、すべての妥当な推論が有限個の公理から導出可能になるか？
• RQ3 自然な仮定の下で、特にルカシエヴィチ、積、ゴデル論理に対して、実数値論理における論理的含意を決定するための意思決定手順は何か？
• RQ4 提案されたフレームワークを用いて、論理的ニューラルネットワーク（LNNs）のような既存の神経記号的システムの正しさと完全性を証明できるか？
• RQ5 このフレームワークは、区間や不等式のような複雑な真偽値制約をどの程度表現可能か。また、その限界は何か？

主な発見

• 本稿では、広範な実数値論理のクラスに対して整合的かつ強く完全な公理的体系を提示し、論理的に妥当なすべての推論が公理から導出可能であることを保証する。
• フレームワークはパラメータ化されており、ルカシエヴィチ、積、ゴデル論理を含むすべての標準的実数値論理をカバーする。これにより、広範な適用可能性が得られる。
• 重み付き部分論理式への拡張により、入力が異なる影響をもつLNNsのようなシステムにおける形式的推論が可能となり、このようなシステムに対する論理的完全性の初の証明が得られる。
• 連続的結合子を有する実数値論理の範囲において論理的含意を決定するための線形計画法に基づく意思決定手順が開発された。
• フレームワークは真偽値の区間（例：φ ≥ 0.5）のような複雑な制約を表現可能であるが、連続性の制約のため、厳密な不等式（例：φ > 0.5）は表現できない。
• 本研究により、LNNsのための、初めての証明可能で整合的かつ完全な論理的推論システムが確立され、神経記号的AIの形式化における重要な空白が埋められた。