[論文レビュー] Four Dimensional Quantum Yang-Mills Theory and Mass Gap I: Quantization of the Solution of the Classical Equation

Simone Farinelli|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ミンコフスキー空間 $\mathbb{R}^{1,3}$ 上の4次元ヤン・ミルズ理論のゲージ不変な量子化を提示し、Wightman公理を満たすものとする。また、紫外カットオフを除去することで、QCDハミルトニアンスペクトルに質量ギャップが存在することを証明する。この構成によりボソン粒子が得られ、結合定数がゼロに近づく極限で質量ギャップが消えることが確認される。

ABSTRACT

A quantization procedure for the Yang-Mills equations for the Minkowski space $\mathbf{R}^{1,3}$ is carried out in such a way that field maps satisfying Wightman axioms of Constructive Quantum Field Theory can be obtained. Moreover, by removing the ultra violet cut off, the spectrum of the corresponding QCD Hamilton operator is proven to be positive and bounded away from zero, except for the case of the vacuum state, which has vanishing energy level. The whole construction is gauge invariant. The particles corresponding to all solution fields are bosons. As expected from QED, if the coupling constant converges to zero, then so does the mass gap. The results are proved first for the model with the bare coupling constant, and then for a model with a running coupling constant by means of renormalization.

研究の動機と目的

• 4次元ミンコフスキー空間におけるヤン・ミルズ理論の厳密な量子化手順を確立し、構成的量子場理論のWightman公理を満たすものとする。
• 紫外カットオフを除去した後、QCDハミルトニアンスペクトルに正の質量ギャップが存在することを示すこと。
• 構成がゲージ不変のままであり、ボソン粒子状態のみを生成することを保証すること。
• 再生化を用いて、結合定数が変化するモデルへの拡張を図ること。
• 結合定数がゼロに近づく極限で質量ギャップが消えることを確認し、QEDからの予想と整合すること。

提案手法

• ゲージ不変性を保ちながら、$\mathbb{R}^{1,3}$ 上の古典的ヤン・ミルズ方程式に対する量子化手順を開発する。
• 場の写像を構成し、Wightman公理を満たすことで、量子理論が数学的に厳密に定義され、因果的であることを保証する。
• 紫外カットオフを体系的に除去し、ハミルトニアンスペクトルの連続極限を分析する。
• QCDハミルトニアンのスペクトルが、エネルギーがゼロの真空状態を除き、正の値から下界を持つことが証明される。
• まず、裸の結合定数に対して構成を行い、その後再生化技術を用いて結合定数が変化する場合へと拡張する。
• 得られた量子場は、ゲージ理論のスピン統計の法則に従い、すべてボソンを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ヤン・ミルズ理論のゲージ不変な量子化を構成可能か。その結果得られる量子場がWightman公理を満たすか。
• RQ2 紫外カットオフを除去した後、QCDハミルトニアンのスペクトルに正の質量ギャップが存在するか。
• RQ3 結合定数がゼロに近づく極限での質量ギャップの振る舞いはいかなるものか。
• RQ4 再生化を用いて、結合定数が変化するモデルを量子化手順に組み込むにはどうすればよいか。
• RQ5 量子化手順によって得られる粒子状態は、ゲージ理論の期待通り、すべてボソンであるか。

主な発見

• 量子化手順により、Wightman公理を満たす場の写像が得られ、4次元ミンコフスキー空間における数学的に厳密な量子場理論が保証される。
• 紫外カットオフを除去した後、QCDハミルトニアンのスペクトルが、エネルギーがゼロの真空状態を除き、正の値から下界を持つことが証明される。
• 結合定数がゼロに近づく極限で質量ギャップが消えることが示され、量子電磁力学からの予測と整合する。
• 構成は常にゲージ不変性を保ち、古典的ヤン・ミルズ理論の基本的対称性が保存される。
• 解の場から得られるすべての粒子状態はボソンであり、スピン統計の定理に従う。
• 再生化を用いて結合定数が変化するモデルへの拡張がなされ、質量ギャップの存在が維持される。