[論文レビュー] Four-dimensional Riemannian manifolds with commuting higher order Jacobi operators

M. S. Ivanova, V. Videv+1 more|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、4次元のエインシュタインでないリーマン多様体が、直交するベクトルまたは2次元平面に対応する高次ヤコビ作用素が可換であるための必要十分条件を示す。著者らは、すべての単位ベクトル $X$ に対して $Σ(X)igcircackepsilon(X^ot) = ackepsilon(X^ot)igcircackepsilon(X)$ が成り立つこと、あるいはすべての2次元平面 $ackepsilon$ に対して $ackepsilon(\alpha)igcircackepsilon(\alpha^ot) = ackepsilon(\alpha^ot)igcircackepsilon(\alpha)$ が成り立つことと、リッチ曲率が計量に比例すること、つまり多様体がエインシュタイン的であることが同値であることを確立した。

ABSTRACT

We consider four-dimensional Riemannian manifolds with commuting higher order Jacobi operators defined on two-dimensional orthogonal subspaces (polygons) and on their orthogonal subspaces. More precisely, we discuss higher order Jacobi operator $\mathcal{J}(X)$ and its commuting associated operator $\mathcal{J}(X^{\perp})$ induced by the orthogonal complement $X^{\perp}$ of the vector $X$, i. e. $\mathcal{J}(X)\circ\mathcal{J}(X^{\perp})=\mathcal{J}(X^{\perp})\circ \mathcal{J}(X)$. At the end some new central theorems have been cited. The latter are due to P. Gilkey, E. Puffini and V. Videv, and have been recently obtained.

研究の動機と目的

• 4次元非分解可能リーマン多様体において、直交する部分空間上で高次ヤコビ作用素が可換となる条件を特徴づける。
• 単位ベクトル $X$ に対して $\mathcal{J}(X)\circ\mathcal{J}(X^\perp) = \mathcal{J}(X^\perp)\circ\mathcal{J}(X)$ が成り立つ可換性条件の幾何的意味を調査する。
• 4次元多様体における2次元平面 $\alpha$ に対して $\mathcal{J}(\alpha)\circ\mathcal{J}(\alpha^\perp) = \mathcal{J}(\alpha^\perp)\circ\mathcal{J}(\alpha)$ が成り立つ条件を分析する。
• これらの可換性条件と4次元リーマン幾何におけるエインシュタイン性の同値性を確立する。
• 最近のPuffini–Videv 0-モデルに関する結果をリーマン的設定に拡張し、Puffini–Videv 0-モデルがエインシュタイン的成分の直和に分解可能であることを示す。

提案手法

• k次元平面 $\pi$ に対して、$\mathcal{J}(\pi) = \sum_{i=1}^k R(Y, Y_i)Y_i$ として高次ヤコビ作用素 $\mathcal{J}(\pi)$ を定義する。ここで $\{Y_i\}$ は $\pi$ の正規直交基底である。
• 曲率テンソル $R$ 及びその成分 $K_{ij} = g(R(e_i,e_j)e_j,e_i)$ と $\rho_{ij} = \sum_k g(R(e_k,e_i)e_j,e_k)$ を用いて、$\mathcal{J}(X)$ と $\mathcal{J}(X^\perp)$ を行列形式で表現する。
• 行列の可換性条件 $\mathcal{J}(\{e_1,e_2,e_3\}) \circ \mathcal{J}(\{e_4\}) = \mathcal{J}(\{e_4\}) \circ \mathcal{J}(\{e_1,e_2,e_3\})$ を導出し、成分を等置して方程式系を得る。
• 得られた方程式系 (2.14) と (2.15) を解くことにより、$K_{14} = K_{23}, K_{13} = K_{24}, K_{12} = K_{34}$ が得られ、リッチ曲率が定数であることを示す。
• これらの関係が任意の正規直交基底に対して不変であることから、多様体がエインシュタイン的であると結論づける。
• Puffini–Videv 0-モデルの一般化理論を適用し、リーマン的設定において、0-モデルがPuffini–Videv的であるための必要十分条件が、エインシュタイン的0-モデルの直和に分解可能であることであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元リーマン多様体において、すべての単位ベクトル $X$ に対して高次ヤコビ作用素 $\mathcal{J}(X)$ と $\mathcal{J}(X^\perp)$ が可換となる条件は何か？
• RQ2 すべての2次元平面 $\alpha$ に対して、可換性 $\mathcal{J}(\alpha)\circ\mathcal{J}(\alpha^\perp) = \mathcal{J}(\alpha^\perp)\circ\mathcal{J}(\alpha)$ が成り立つのはどのようなときか？
• RQ3 4次元多様体において、直交する部分空間上で高次ヤコビ作用素が可換であるという条件が示唆する幾何的構造は何か？
• RQ4 Puffini–Videv 0-モデルはリーマン的設定においてエインシュタイン幾何とどのように関係しているか？
• RQ5 リーマン的状況下でのPuffini–Videv 0-モデルは、エインシュタイン的成分に分解可能か？

主な発見

• すべての単位ベクトル $X$ に対して $\mathcal{J}(X)\circ\mathcal{J}(X^\perp) = \mathcal{J}(X^\perp)\circ\mathcal{J}(X)$ が成り立つことと、多様体がエインシュタイン的であることは同値である。
• すべての2次元平面 $\alpha$ に対して $\mathcal{J}(\alpha)\circ\mathcal{J}(\alpha^\perp) = \mathcal{J}(\alpha^\perp)\circ\mathcal{J}(\alpha)$ が成り立つことと、多様体がエインシュタイン的であることは同値である。
• 行列の可換性方程式の解法により、$K_{14} = K_{23}, K_{13} = K_{24}, K_{12} = K_{34}$ という関係が得られ、リッチ曲率が計量に比例することを示す。
• 任意の正規直交基底に対して曲率関係が不変であることから、2つの可換性条件とエインシュタイン性の同値性が確立される。
• リーマン的設定において、0-モデルがPuffini–Videv的であるための必要十分条件は、エインシュタイン的0-モデルの直和に分解可能であることである。
• Puffini–Videv 0-モデルの枠組みはエインシュタイン条件を一般化しており、このようなモデルは、直交する部分空間上で高次ヤコビ作用素が可換となる曲率構造を持つことと同値である。