[論文レビュー] Four lectures on quasi-local mass

Mu‐Tao Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ミンコフスキー時空への最適等長埋め込みに基づき、一般相対性理論における準局所的質量およびエネルギーの新しい定義を提示する。変分原理を用いて、準局所的エネルギーの正値性と安定性を確立する。主な貢献は、物理的整合性を保証する厳密なフレームワークを提供し、有限領域における質量の幾何的解釈を可能にする点である。応用分野は重力エネルギーおよび時空幾何学に及ぶ。

ABSTRACT

This note is based on a series of four lectures the author gave at University of Montpellier, September 28-30, 2015. He started with the notion of mass in general relativity, gave a brief review of some known constructions of quasi-local mass, and then discussed the new quasi-local energy and quasi-local mass which Shing-Tung Yau and the author introduced in 2009. At the end, the proof of the positivity of quasi-local energy was sketched and a stability theorem of critical points of quasi-local energy by Po-Ning Chen, Shing-Tung Yau, and the author was discussed.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論において、全質量が直接測定できない有限領域に対して、物理的に意味のある準局所的質量を定義する長年の問題に取り組むこと。
• 漸近的に平坦な時空において既知の量に還元される、幾何学的に整合性があり物理的根拠を持つ準局所的エネルギーおよび質量の定義を開発すること。
• 提案された準局所的エネルギーの正値性を確立し、変分法による臨界点解析を用いて、小さな摂動に対する安定性を証明すること。
• 時空の2次元表面における幾何データをミンコフスキー時空におけるエネルギー運動量に結びつける、最適等長埋め込みに基づく変分的フレームワークを構築すること。
• 対称的でも時間平坦でもない状況に一般化された既存の準局所的エネルギーに関する結果を拡張し、一般のスパタイムリッジ表面への適用可能性を拡大すること。

提案手法

• 準局所的エネルギーは、ミンコフスキー時空 R^{3,1} 内の表面の全平均曲率と、 lapse 関数 τ および表面の外在幾何に依存する補正項を含む関数として定義される。
• 本手法は、スパタイムリッジ2次元表面をミンコフスキー時空 R^{3,1} に最適な等長埋め込みする方法を採用し、エネルギー関数を最小化する埋め込みを選ぶ。
• エネルギー関数は、物理的平均曲率 |H|、1形式 α_H、および lapse 関数 τ = -⟨X, T₀⟩ で表現され、誘導計量 σ の計量変形を用いて変分が計算される。
• エネルギー関数のオイラー＝ラグランジュ方程式が導出され、τ のヘッシアン、τ の勾配、および平均曲率ベクトルを含む方程式系が得られ、これが最適等長埋め込み系を形成する。
• 安定性は2次変分を用いて分析され、エネルギーが臨界エネルギーと、埋め込み幾何に依存する非負の項の和で下から抑えられることを示す重要な比較定理が得られる。
• 準局所的質量密度 ρ の正値性が、|H₀| > |H| と同値であることが示され、ここで H₀ は R^{3,1} 内の埋め込み表面の平均曲率である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における有限領域に対して、物理的に整合的かつ幾何学的に自然な準局所的質量の定義を構築できるか？
• RQ2 提案された準局所的エネルギー関数が、物理的状態において非負のエネルギーを保証する正値性条件を満たすか？
• RQ3 エネルギー関数の臨界点が、表面幾何または埋め込みデータの小さな摂動に対して安定か？
• RQ4 新しい定義が、漸近的に平坦な時空において既知の全質量に還元されるか？
• RQ5 与えられたスパタイムリッジ2次元表面に対して、最適等長埋め込みが存在し、かつ一意に定まるための幾何的条件は何か？

主な発見

• 最適等長埋め込みにおける平均曲率が |H₀| > |H| を満たす場合、準局所的エネルギーが正値であることが証明された。これは、準局所的質量密度 ρ の正値性と同値である。
• 臨界点の安定性が確立された。臨界点 (X, T₀) が局所的最小値であるための必要十分条件は、準局所的質量密度 ρ が正であることである。
• 比較定理により、任意の埋め込み (X, T₀) に対して、E(X, T₀) ≥ E(𝑋̄, 𝑇̄₀) + E(𝑋̄(Σ), X, T₀) が成り立ち、等号成立は τ - τ₀ が定数である場合に限る。ただし、σ + dτ⊗dτ のガウス曲率が正であると仮定する。
• 本手法は、非対称的かつ非時間平坦な場合を含む一般のスパタイムリッジ表面に適用可能であり、従来の時間平坦または球対称な配置に限られていた結果を拡張する。
• 最適等長埋め込み系の摂動的解法が可能となり、数値相対性理論や時空幾何の安定性解析への応用が可能になる。
• エネルギー関数は再パrametrization に対して不変であり、表面の内挿的および外在的幾何的データのみに依存するため、物理的整合性が保証される。