[論文レビュー] Four Random Permutations Conjugated by an Adversary Generate $S_n$ with High Probability

Robin Pemantle, Yuval Peres+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称群 $S_n$ 内の4つの一様にランダムな置換が、敵対的攻撃者によって個別に共役化されても、$n \to \infty$ の際に $S_n$ を生成する確率が0から離れていることを証明する。証明は、巡回構造の解析、和集合の交差、ポアソン近似と巡回長制約を用いた確率的カップリング技術に依拠し、置換が不変的に推移的部分群を生成することを示す。その結果、与えられた条件下で、それらが $S_n$ を高確率で生成することを結論づける。

ABSTRACT

We prove a conjecture dating back to a 1978 paper of D.R.\ Musser~\cite{musserirred}, namely that four random permutations in the symmetric group $\mathcal{S}_n$ generate a transitive subgroup with probability $p_n > ε$ for some $ε> 0$ independent of $n$, even when an adversary is allowed to conjugate each of the four by a possibly different element of $§_n$ (in other words, the cycle types already guarantee generation of $\mathcal{S}_n$). This is closely related to the following random set model. A random set $M \subseteq \mathbb{Z}^+$ is generated by including each $n \geq 1$ independently with probability $1/n$. The sumset $ ext{sumset}(M)$ is formed. Then at most four independent copies of $ ext{sumset}(M)$ are needed before their mutual intersection is no longer infinite.

研究の動機と目的

• ムッサー（1978）が提起した長年の予想を解決すること。すなわち、$S_n$ 内の4つのランダムな置換が、敵対的共役化を受けても、$n$ に依存しない正の定数より大きい下界を持つ確率で $S_n$ を生成することを示すこと。
• 各置換が敵対的共役化を受けても、4つのランダムな置換の巡回型が、$S_n$ を生成することを十分に示すこと。これは、完全な対称群が不変的に生成されることを意味する。
• 巡回型次数の和集合構造を分析し、その相互交差が無限大であるならば、対応する置換が推移的部分群を生成することを示すこと。
• ランダム置換の文脈において、ポアソン近似とカップリング論法を用いて、巡回数の4次モーメントの上限を求める確率的ツールを開発すること。
• ジョルダンの定理（長さが素数の長い巡回）を、多項式のガロア群のモンテカルロテストフレームワークへ拡張すること。具体的には、素数を法とするランダムな因数分解型のサンプリングによって、このような巡回が確率的に検出可能であることを示すこと。

提案手法

• 素数を法とする因数分解型とガロア群内の巡回型を結びつけるために、フロベニウス密度定理とデデキンドの定理を用い、巡回構造の確率的サンプリングを可能にする。
• 和集合の共通部分集合が 0 と $n$ 以外に存在するかどうかを分析することで、「不変的生成」の概念を適用し、推移的生成を示す。
• 実際の置換の巡回数とポアソン確率変数との間のカップリングを用いて、特定の巡回長が存在する確率の上限を、分布間の全 Variation 距離を用いて制御する。
• 巡回寄与を小サイクルと大サイクルに分解し、$S_n$ を生成しない確率の確率的制御のための4次モーメントの上限を確立する。
• アラタリア＝タヴァレの補題を用いて、ランダム置換が長さ $m(n)$ 以上の巡回のみを含む確率を推定し、その確率が $1/m(n)$ で抑えられることを示す。これは、尾確率の制御に不可欠である。
• 巡回ベクトル ${\bf y}$ を小サイクル ${\bf y}'$ と大サイクル ${\bf y}''$ に分解し、特定の要素が長大なサイクルに属するという条件付き確率を用いて大サイクル寄与の上限を求める。交換可能性の性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ の際に、敵対的共役化を受ける4つの一様ランダム置換が、$S_n$ を確率が0から離れている確率で生成できるか？
• RQ2 巡回型の和集合にどのような条件が満たされると、対応する置換が $S_n$ の推移的部分群を不変的に生成するか？
• RQ3 ランダム置換において、特定長の巡回数の4次モーメントをどのように制御すれば、$S_n$ を生成しない確率を制御できるか？
• RQ4 制限付き巡回長を持つランダム置換の文脈において、巡回数のポアソン近似が真の分布をどれくらい正確に反映するか？
• RQ5 一般のガロア群を仮定したもとで、$[n/2+1, n-5]$ の範囲に長さが素数の巡回が存在する場合、その存在は素数を法とする因数分解型のランダムサンプリングによって信頼性高く検出可能か？

主な発見

• 本稿は、敵対的共役化を受けても、$S_n$ 内の4つのランダム置換が、$n$ に依存しない正の定数 $\varepsilon > 0$ を満たす確率 $p_n > \varepsilon$ で $S_n$ を生成することを証明し、ムッサーの1978年予想を裏付ける。
• 4つのランダム置換の巡回型次数集合の和集合は、0 と $n$ 以外に共通部分集合を持つ確率が非常に高い。これは、置換が不変的に推移的部分群を生成することを示唆する。
• 推移的部分群を生成する確率ベクトル $\tilde{q}_n$ の4次モーメントは $O(\log^3 n / n)$ で有界であり、これは級数の収束を保証し、主結果を支持する。
• ランダム置換が長さ $m(n)$ 以上の巡回のみを含む確率は、$1/m(n) + o(1)$ で抑えられ、ここで $m(n) \sim N / \log^2 N$ である。これはカップリング論法における尾挙動の制御に不可欠である。
• 実際の巡回数分布とポアソン近似との全 Variation 距離は $n^{-C \log \log n}$ で抑えられ、これは任意の多項式より速く減少する。これにより、分析においてポアソンヒューリスティクスの使用が正当化される。
• 証明により、$S_n$ を生成しない確率が十分に速く減少することが示され、敵対的共役化の下でも、4つの置換が正の下界を持つ確率で $S_n$ を生成することが保証される。