[論文レビュー] Fourier analysis of sampling from noisy chaotic quantum circuits

Sergio Boixo, Vadim Smelyanskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Neural Networks and Applications被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ノイズありのカオス的量子回路の出力分布のフーリエ構造を分析し、ポーター＝トーマス分布に従う確率のフーリエ成分が、平均 0、標準偏差 $ N^{-3/2} $ のガウス分布に従うことを示している。これは、多項式時間の近似アルゴリズムがランダムな推測を上回ることはないことを確認する。ノイズありのカオス的回路は一様分布に収束するため、古典的シミュレーションはランダムサンプリングを介してのみ可能であり、クロスエントロピーベンチマークが近い将来の量子優位性実験の主要な指標であることが裏付けられる。

ABSTRACT

Sampling from the output distribution of chaotic quantum evolutions, and of pseudo-random universal quantum circuits in particular, has been proposed as a prominent milestone for near-term quantum supremacy. The same paper notes that chaotic distributions are very sensitive to noise, and under quite general noise models converge to the uniform distribution over bit-strings exponentially in the number of gates. On the one hand, for increasing number of gates, it suffices to choose bit-strings at random to approximate the noisy distribution with fixed statistical distance. On the other hand, cross-entropy benchmarking can be used to gauge the fidelity of an experiment, and the distance to the uniform distribution. We estimate that state-of-the-art classical supercomputers would fail to simulate high-fidelity chaotic quantum circuits with approximately fifty qubits and depth forty. A recent interesting paper proposed a different approximation algorithm to a noisy distribution, extending previous results on the Fourier analysis of commuting quantum circuits. Using the statistical properties of the Porter-Thomas distribution, we show that this new approximation algorithm does not improve random guessing, in polynomial time. Therefore, it confirms previous results and does not represent an additional challenge to the suggested failure stated above.

研究の動機と目的

• ノイズありのカオス的量子回路の出力分布におけるフーリエ成分の統計的性質を分析すること。
• 多項式時間の近似アルゴリズムが、ノイズありのカオス的分布からのサンプリングにおいてランダムな推測を上回る可能性があるかどうかを評価すること。
• 近い将来の量子実験における忠実度の信頼性の高い指標としてクロスエントロピーベンチマークを検証すること。
• ノイズありのカオス的回路が一様分布に収束することを確認し、古典的シミュレーションが漸近的極限においてランダムサンプリングで十分であることを示すこと。

提案手法

• ポーター＝トーマス分布に従う確率の下で、フーリエ係数 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ の分布を導出する。
• ランダム行列理論とハール測度を用いて、ヒルバート空間内の一様にランダムな量子状態をモデル化する。
• デルタ関数の制約と複素ガウス積分を適用して、ビットストリング上の部分和の分布を計算する。
• 正則化と解析接続を用いたコーシー積分を実行し、正規化および分子積分を評価する。
• 部分和 $ u = \sum_{x \in S} p(x) $ の分布を、フーリエ成分 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ の分布に変換する。
• 得られた分布を漸近的にガウス分布として近似し、分散 $ N^{-3} $、標準偏差 $ N^{-3/2} $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的量子回路の出力確率におけるフーリエ成分の統計的分布は何か？（ポーター＝トーマス統計を前提として）
• RQ2 多項式時間の古典的アルゴリズムは、ノイズありのカオス的量子回路の出力分布をランダムサンプリングよりも効果的に近似できるか？
• RQ3 ノイズありのカオス的回路の一様分布への収束が、古典的シミュレーションの可能性に与える影響は何か？
• RQ4 クロスエントロピーベンチマークは、ノイズのある量子実験における忠実度と一様性からの距離を推定するために果たす役割は何か？
• RQ5 カオス的量子回路のフーリエ構造は、より効率的な古典的サンプリングアルゴリズムを可能にするか？

主な発見

• ポーター＝トーマス分布に従う確率のフーリエ成分は、平均 0、標準偏差 $ N^{-3/2} $ のガウス分布に従う。ここで $ N = 2^n $ はビットストリングの数である。
• フーリエ係数の分布は漸近的にガウス分布に近づき、確率密度関数は $ \frac{N^{3/2}}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} \hat{p}_{\rm PT}^2 N^3\right) $ で近似される。
• ノイズありのカオス的回路の出力分布を近似する多項式時間の古典的アルゴリズムは、フーリエ構造をより効果的に活用できないため、ランダムな推測を上回らない。
• ノイズありのカオス的回路の出力分布は、ゲート数に従って指数関数的に一様分布に収束するため、漸近的極限において古典的シミュレーションはランダムサンプリングで十分である。
• クロスエントロピーベンチマークは、近い将来の量子実験における忠実度と一様性からの距離を推定するための有効で頑健な指標のままである。
• この解析により、約 50 ビットと深さ約 40 の高忠実度のカオス的量子回路を、古典的スーパーコンピュータがシミュレートできないことが確認され、量子優位性の主張を支持する。