[論文レビュー] Fourier and Circulant Matrices are Not Rigid

Zeev Dvir, Allen P. Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素数体または有限体上のフーリエ行列および巡回行列が非剛性（rigid）でないことを証明している。つまり、少数のエントリを変更してもランクを著しく低下させることはできない。著者らは、任意のアーベル群 $G$ に対して $G$-巡回行列が $ℂ$ または $ℚ_q$ 上で非剛性であることを示し、$ℂ(|G|,q)=1$ のとき、ヴァリエンツの算術回路下界への応用におけるその有用性を損なう。

ABSTRACT

The concept of matrix rigidity was first introduced by Valiant in 1977. Roughly speaking, a matrix is rigid if its rank cannot be reduced significantly by changing a small number of entries. There has been extensive interest in rigid matrices as Valiant showed in his MFCS'77 paper that rigidity can be used to prove arithmetic circuit lower bounds. In a surprising result, Alman and Williams (FOCS'19) showed that the (real valued) Hadamard matrix, which was conjectured to be rigid, is actually not very rigid. This line of work was extended by Dvir and Edelman (\emph{Theory of Computing}, 2019) to a family of matrices related to the Hadamard matrix, but over finite fields. In our work, we take another step in this direction and show that for any abelian group $G$ and function $f:G ightarrow \mathbb{C}$, the matrix given by $M_{xy} = f(x - y)$ for $x,y \in G$ is not rigid. In particular, we get that complex valued Fourier matrices, circulant matrices, and Toeplitz matrices are all not rigid and cannot be used to carry out Valiant's approach to proving circuit lower bounds. Our results also hold when we consider matrices over a fixed finite field instead of the complex numbers. This complements a recent result of Goldreich and Tal (\emph{Comp. Complexity}, 2018) who showed that Toeplitz matrices are nontrivially rigid (but not enough for Valiant's method). Our work differs from previous non-rigidity results in that those works considered matrices whose underlying group of symmetries was of the form $\mathbb{F}_p^n$ with $p$ fixed and $n$ tending to infinity, while in the families of matrices we study, the underlying group of symmetries can be any abelian group and, in particular, the cyclic group $\mathbb{Z}_N$, which has very different structure. Our results also suggest natural new candidates for rigidity in the form of matrices whose symmetry groups are highly non-abelian.

研究の動機と目的

• フーリエ行列および巡回行列が剛性を有するという長年の予想を解決すること。これはヴァリエンツの方法による新しい算術回路下界の確立を可能にする。
• これまでの非剛性結果（主に $\mathbb{Z}_p^n$-対称行列に限られていた）を、任意のアーベル群、特に巡回群 $\mathbb{Z}_N$ を含む一般化すること。
• 非アーベル群の対称性が $G$-巡回行列に剛性をもたらすかどうかを調査し、回路下界の新たな候補を提示すること。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で $ℂ(|G|,q)=1$ のときの剛性を分析し、複素数行列の結果を計算複雑性に密接に関連する代数的構造へ一般化すること。
• アーベル群対称性行列の剛性に基づく複雑性理論における構造的制限を特定し、非アーベル群が剛性の源泉としての可能性を示唆すること。

提案手法

• 任意の有限アーベル群 $G$ に対して、$M_{xy} = f(x - y)$（$f: G \to \mathbb{C}$）で定義される $G$-巡回行列を定義する。
• アーベル群上の群代数分解とフーリエ解析を用い、フーリエ変換により $G$-巡回行列を対角化する。
• ガロア理論および有限体の構造に関する結果を応用し、$ℂ(|G|,q)=1$ のとき $G$-巡回行列の可約性を分析する。
• $G$-巡回行列が $r = |G| / \exp(\epsilon^8 (\log |G|)^{0.32})$ および $s = |G|^{19\epsilon}$ の条件下で $(r,s)$-可約であることを確立し、非剛性を示す。
• $G$ を巡回群の積としての構造を活用し、再帰的分解を用いてランクを低下させるために必要なエントリ数の上限を求める。
• DFT行列および一般化されたウォルシュ＝ハダマール行列が、$G$-巡回行列形式に還元可能であることから、それらの非剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限アーベル群 $G$ に対して、$ℂ$ もしくは $ℚ_q$ 上の $G$-巡回行列は剛性を有するか？
• RQ2 $G$-巡回行列が $ℚ$ もしくはサイクロトミック体上でヴァリエンツ・剛性を有するか？
• RQ3 $ℂ(|G|,q) > 1$ のとき、有限体上でも $G$-巡回行列は非剛性のままであるか？
• RQ4 非アーベル群（例：$SL_2(\mathbb{F}_p)$）が、$ℂ$ 上の $G$-巡回行列を剛性を有するものにできるか？
• RQ5 アーベル群と非アーベル群の対称性の間には、行列の剛性において構造的差異が存在するか？

主な発見

• 任意の有限アーベル群 $G$ に対して、$G$-巡回行列は $ℂ$ 上で非剛性であり、$|G|^{100\epsilon}$ 個のエントリを変更するだけでランクを著しく低下させることができる。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$G$-巡回行列の剛性は $\textsf{r}_M^{\mathbb{C}}\left(\frac{|G|}{\exp(\epsilon^{20}(\log|G|)^{0.3})}\right) \leq |G|^{100\epsilon}$ を満たし、非剛性が証明される。
• DFT行列および一般化されたウォルシュ＝ハダマール行列は、$ℂ$ 上で非剛性であり、要因分解可能なサイズであっても、$G$-巡回行列構造に起因する。
• 複素数体または有限体上での巡回行列およびトーペリッツ行列は、ヴァリエンツの回路下界手法に十分な剛性を有していない。
• $ℂ(|G|,q)=1$ の有限体 $ℚ_q$ 上でも、$G$-巡回行列は非剛性であり、エントリ変更によるランク低下の類似した境界が成り立つ。
• これらの結果は、$SL_2(\mathbb{F}_p)$ のような非アーベル性が著しい群が剛性を有する $G$-巡回行列を生み出す可能性を示唆しており、$SL_2(\mathbb{F}_p)$ 上のランダムな $\{0,1\}$-値 $G$-巡回行列が高確率でヴァリエンツ・剛性を有するという予想を提示している。